充分條件與必要條件，不等式的解集合，1990中國高考數學全國卷

==主旨==

這份習題的目標是藉由圖解不等式來認識「充分條件」與「必要條件」的定義。

==導引==

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，也就是$A \Rightarrow B$，則
(i) 稱敘述A為敘述B的充分條件(sufficient condition)。
(ii) 稱敘述B為敘述A的必要條件(necessary condition)。

例子 敘述A：「碧曲是正妹。」；敘述B：「碧曲是人類。」

如果敘述A正確，也就是我們已經知道碧曲確實是正妹，那麼碧曲一定是人類，亦即敘述B是正確的。因此我們可以從敘述A推導出敘述B。

套用以上對於「充分條件」與「必要條件」的定義，我們會說：
(i) 「碧曲是人類」為「碧曲是正妹」的必要條件；
(ii) 「碧曲是正妹」為「碧曲是人類」的充分條件；

注意 但是如果把兩個敘述的位置對調反過來，那麼推理的鍊條未必串的起來。這就是說，就算敘述B是正確的，我們知道「碧曲是人類」，可是我們卻無法由此推論出「碧曲是正妹」，不能確定敘述A正確與否。

定義 考慮兩敘述A, B，若可由敘述A推導出敘述B，同時也可由敘述B推導出敘述A，亦即有$A \Leftrightarrow B$，那麼兩條件互稱為彼此的充要條件(sufficient and necessary condition)。

復向東，見一商港，然商販皆金髮碧眼，料是海外來朝之英吉利商販集散所在，舶來異寶眾多，正目眩神迷間，琴聲價響，佇聽之，或如山壑雅秀，或如水潭靜謐，時悠遠輕揚，復而厚實凝重，令人神馳，急尋琴聲來處，見一英吉利女子正自奏藝販琴，當下文思泉湧，兼有結識之意，於是突出人群，吟詩唱和：「商娥扶碧曲，秀謐悠而厚...」詩未竟，曲驟斷，但見英女神色驚訝，連聲曰諾，正暗喜間，卻見數名英商巡官怒目而來倒拖吾身，飽以老拳。嗟乎，奈何蠻夷終究不識詩詞曲賦之美...。

==題目，第1組，中國1990高考數學全國卷文史類組==

1. 圖解不等式：$0 < x < 5$。
2. 解不等式：$| x - 2| < 3$，並圖解之。
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 設命題甲為：$0 < x < 5$；命題乙為：$| x - 2| < 3$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。

==題目，第2組，中國1990高考數學全國卷理工農醫類組==

1. 取定正數h，在座標平面上畫出不等式$| x - y| < 2h$的解區域。
2. 同樣的正數h，在座標平面上畫出聯立不等式$\left\{ \begin{array}{l} | x - 1| < h \\ | y - 1| < h \end{array} \right.$的解區域。（請注意聯立不等式意味著兩條式子的條件要同時滿足！）
3. 若將第1題的圖形稱為甲，將第2題的圖形稱為乙，請問甲乙兩者的包含關係為何？是甲包含乙，還是乙包含甲，還是沒有包含關係？
   請注意這裡所謂的「包含在...之中」是指完全包含。若只有一部份重疊就不算包含了。
4. 如果某點在圖形甲之中，那麼該點一定會在圖形乙之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
5. 如果某點在圖形乙之中，那麼該點一定會在圖形甲之中嗎？如果不會，那麼是哪些點不聽話呢？
6. [原題] 已知$h > 0$。設命題甲為：兩個實數x, y滿足$| x - y| < 2h$；命題乙為：兩個實數x, y滿足$| x - 1| < h$且$| y - 1| < h$。那麼
   (A) 甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件。
   (B) 甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件。
   (C) 甲是乙的充要條件。
   (D) 甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件。