只用中點公式、不用分點公式，推導重心座標公式

眾所皆知，在座標平面上給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$，設$\overline{AB}$之中點為M，則容易知道中點M的座標為$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$，此稱為「中點公式」。若以更簡單的方式書寫，可記為
$$M = \frac{A + B}{2}.$$ 口訣為「兩點相加除以二」。

一般地，同樣給定相異兩點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)$，再設$\overline{AB}$上有一點P滿足$\overline{AP}: \overline{PB} = m: n$，於是我們可以求出P點的座標為
$$P = \left( \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \right).$$ 此稱為「分點公式」。記憶的方式很多，最簡單的方法之一是與物理的力矩概念相結合。

然而我們(數學老師)終究得承認，分點公式對於大部分的高中生來說，其實真的很難記，特別是比例常數交叉，在多數人頭腦裡，根本無法想像。在某些特殊情況，學生光是能記熟中點公式(相加除以二)，我們可能就會阿彌陀佛、額手稱慶。

(阿彌陀佛姊支援！)

現在進入正題。

給定座標平面上不共線三點$A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2), C = (x_3, y_3)$，命$\triangle ABC$的重心為G，則G的座標為
$$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right).$$ 若以更簡單的方式書寫，可記為
$$G = \frac{A + B + C}{3}.$$ 口訣為「三點相加除以三」。

證明不難，不過幾乎所有教學都用了分點公式。譬如我的朋友許淵智老師的影片。

一個問題：可不可以不要用分點公式？

我在昨天教廖阿嫆的時候，突然想出了一個方法，這裡野人獻曝，請大家參考批評。

取$\overline{BC}$的中點D，於是由中點公式有$D = \frac{B + C}{2}$。

由國中幾何知識有$\overline{AG}: \overline{GD} = 2: 1$。我們取$\overline{AG}$的中點H，一樣由中點公式有$H = \frac{A + G}{2}$。

注意到此時重心G會是$\overline{HD}$的中點，所以由中點公式有$G = \frac{H + D}{2}$。

將前面推導的式子$D = \frac{B + C}{2}$與$H = \frac{A + G}{2}$代入方才推出的式子$G = \frac{H + D}{2}$，我們得到
$$\begin{eqnarray*}  && G =  \frac{\frac{A + G}{2} + \frac{B+ C}{2}}{2} \\ &\Rightarrow& 2G = \frac{A + G + B + C}{2} \\ &\Rightarrow& 4G = A + G + B + C \\ &\Rightarrow& 3G = A + B + C \\ &\Rightarrow& G = \frac{A + B + C}{3}. \end{eqnarray*}$$

(證明終了)

雕蟲小技，不足掛齒，我想我應該不是第一個想到的。但Google搜尋「重心座標公式推導」的結果的前幾頁都沒看到這樣的作法，所以應該還是值得寫一篇短文與大家分享。