費曼如何心算28的平方(的近似值)

費曼在其著作"Surely You're Joking, Mr. Feynman!: Adventures of a Curious Character"(中譯本：別鬧了，費曼先生: 科學頑童的故事)中談過他如何計算(心算)28的平方：

從此以後，我也試著這樣做。我背熟了幾個數字的對數值，也開始注意很多事情。比方有人說：「28的平方是多少？」那麼注意2的平方根是1.4，而28是1.4的20倍，因此28的平方一定接近400的兩倍，即800上下。

讓我們用數學式把這段過程表達得更清楚：
\begin{eqnarray*} && \sqrt{2} \approx 1.414 \\ &\Rightarrow& 28 = 20 \times 1.4 \approx \color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}} \\ &\Rightarrow& 28^2 \approx (\color{red}{\bf 20 \times \sqrt{2}})^2 = 20^2 \times \sqrt{2}^2 = 400 \times 2 = 800. \end{eqnarray*} 換句話說，整個心算過程的秘訣在於用$20 \sqrt{2}$去代替28，其中的20平方與$\sqrt{2}$平方都相當容易計算。

我們按按計算機，看看費曼先生的答案與實際值差多少：
\begin{eqnarray*}  \text{費曼}&:& 28^2 \approx 800 \\ \text{計算機}&:& 28^2 = 784. \end{eqnarray*} 雖不中，亦不遠矣！

兩個習題供讀者思考：

1. 為何費曼的近似值比真確值大？
2. 用費曼的方法計算$45^2$。(提示：試試$\sqrt{5} \approx 2.236$。這個估計會得出盈近似值還是虧近似值？)