東京大學，1961，文科/理科，前期，第4題：線段分割二比一，求中心小三角形面積

問題

設$\triangle ABC$的三邊$\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$上頭分別有點$L, M, N$使得$\displaystyle \frac{BL}{LC}=\frac{CM}{MA}=\frac{AN}{NM}=\frac{1}{2}$，其中$\overline{AL}$與$\overline{CN}$交點為$P$，$\overline{AL}$與$\overline{BM}$交點為$Q$，$\overline{BM}$與$\overline{CN}$交點為$R$。試求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

解答1 (國中) 綜合幾何法

1. 證明三角形共邊關係：$\triangle ANC : \triangle LNC = \overline{AP} : \overline{LP}$。
2. 證明：$\overline{AP} : \overline{LP} = 3 : 4$。
3. 證明：$\triangle LBM : \triangle ABM = \overline{LQ} : \overline{AQ}$。
4. 證明：$\overline{LQ} : \overline{AQ} = 1 : 6$。
5. 證明：$\overline{AP} : \overline{PQ} : \overline{QL} = 3 : 3 : 1$。
6. 證明：$\triangle ABQ = \frac{2}{7} \triangle ABC$。
7. 討論$\triangle BCR$與$\triangle ABC$的關係。
8. 討論$\triangle CAP$與$\triangle ABC$的關係。
9. 求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

解答2 (高中) 向量法

1. 設$\overrightarrow{AL} = s_1 \overrightarrow{AB} + t_1  \overrightarrow{AC}$，試利用分點公式求出$s_1 ,t_1$之值。
2. 設$\overrightarrow{AP} = s_2 \overrightarrow{AN} + t_2 \overrightarrow{AC}$，試利用平行關係及分點公式求出$s_2 ,t_2$之值。
3. 將$\overrightarrow{BQ}$表示為$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{BA}$的線性組合。
4. 將$\overrightarrow{CR}$表示為$\overrightarrow{CA}$與$\overrightarrow{CB}$的線性組合。
5. 將$\overrightarrow{PQ}$表示為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的線性組合。
6. 將$\overrightarrow{PR}$表示為$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的線性組合。
7. 根據三角形的行列式面積公式有$\triangle ABC = \frac{1}{2} \left| \det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right) \right|, \triangle PQR = \frac{1}{2} \left| \det \left( \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR} \right) \right|$。試利用行列式的性質求出$\triangle PQR$與$\triangle ABC$的面積比。

參考資料

[1] http://server-test.net/math/php.php?name=tokyo&v1=0&v2=1961&v3=1&v4=4&y=1961&n=4

評：該網站作者的解法頗複雜啊...原因在於他的向量解法只用半套，解出了邊長比後，又回去傳統的面積比、線段比解法，太繁瑣(笨)。如果要用向量玩到底，就應該引入行列式進來，把這道題目完全(向量)代數化，僅靠純粹的展開計算就可以得到答案。