無限循環小數的總和

==主旨==

1. 觀察各位值數字的排列，得出所有排列數字的總和。
2. 引導學生推出「無限循環小數化為分數的公式」

==題目==

1. 若a, b分別代表不同的數字，請問由a, b所構成之各位相異的二位數有多少種？
2. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問由a, b, c所構成之各位相異的三位數有多少種？
3. 若a, b, c, d, e分別代表不同的數字，請問由a, b, c, d, e所構成之各位相異的五位數有多少種？
4. 小學學過的定位板告訴我們每個整數的十進表示是由哪些數所構成：
   $$a_n a_{n - 1} \cdots a_2 a_1 = a_n \times 10^{n - 1} + a_{n - 1} \times 10^{n - 2} + \cdots + a_2 \times 10^1 + a_1 \times 10^0.$$
   請將五位數$abcde$表示為以上的形式。
5. 在上一小題中，
   (i) 有多少個五位數含有$a \times 10^4$？
   (ii) 有多少個五位數含有$a \times 10^3$？
   (iii) 有多少個五位數含有$a \times 10^2$？
   (iv) 有多少個五位數含有$a \times 10^1$？
   (v) 有多少個五位數含有$a \times 10^0$？
6. 若a, b分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.ababab\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b表示。
7. 若a, b, c分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcabcabc\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b, c表示。
8. 若a, b c, d, e分別代表不同的數字，請問無限循環小數
   $$0.abcdeabcdeabcde\cdots$$
   化為分數後為何？請以數字及a, b c, d, e表示。
9. 數字全用，但不重複，由1, 3, 5, 7, 9這五個數字所構成的純循環小數（形如$0.\overline{13579}, 0.\overline{53971}$等），共有多少個？總和是多少？
   [提示：欲計算總和，請先化為分數後再計算比較容易。]