==主旨==
利用配方證明Lagrange恆等式,然後導出Cauchy不等式。
==題目==
- 直接展開後,合併並配方,證明Lagrange恆等式:
(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−a2b1)2. - 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律:
(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2=(a1b2−a2b1)2+(a1b3−a3b1)2+⋯+(anbn−1−an−1bn)2. - 證明Cauchy不等式:
√a21+⋯+a2n√b21+⋯+b2n≥|a1b1+⋯+anbn|. - 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件:
(i) 若Cauchy不等式等號成立,則?
(ii) 在怎樣的條件下,Cauchy不等式等號會成立? - 設p,q皆為實數,取a1=p,a2=q,b1=q,b2=p,使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式:
非負實數s+非負實數t2≥√非負實數s×非負實數t.
並求出算幾不等式等號成立的充要條件。
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