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2019年8月24日 星期六

配方、Lagrange恆等式與Cauchy不等式

==主旨==

利用配方證明Lagrange恆等式,然後導出Cauchy不等式。

==題目==

  1. 直接展開後,合併並配方,證明Lagrange恆等式:
    (a21+a22)(b21+b22)(a1b1+a2b2)2=(a1b2a2b1)2.
  2. 證明n變數的Lagrange恆等式並找出書寫規律:
    (a21+a22++a2n)(b21+b22++b2n)(a1b1+a2b2++anbn)2=(a1b2a2b1)2+(a1b3a3b1)2++(anbn1an1bn)2.
  3. 證明Cauchy不等式:
    a21++a2nb21++b2n|a1b1++anbn|.
  4. 求出Cauchy不等式等號成立的充要條件:
    (i) 若Cauchy不等式等號成立,則?
    (ii) 在怎樣的條件下,Cauchy不等式等號會成立?
  5. p,q皆為實數,取a1=p,a2=q,b1=q,b2=p,使用Cauchy不等式推導出2元算幾不等式:
    非負實數s+非負實數t2非負實數s×非負實數t.
    並求出算幾不等式等號成立的充要條件。

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