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2019年8月16日 星期五

棋盤上的矩形個數

==問題==

如圖所示,有多少個矩形?

 ==解答==

本題使用排容原理。

先將不完整的棋盤裡的線補完,同時對垂直線以及水平線編號,如下圖所示。


在不考慮中間是否挖空的情況下,由r1,,c6c1,,c7等線所決定的矩形個數為(62)×(72)=315個。

現在回過頭來考慮挖空的影響。

在以上315個矩形中,只要邊界之一由r4c3構成者,一概都不可計入。所以
n(不可計入矩形)=n(邊界之一由r4c3構成者)=n(邊界之一由r4構成者)+n(邊界之一由c3構成者)n(邊界之二由r4c3構成者)=(51)×[(72)(22)(42)]+(61)×[(62)(32)(22)](51)×(61)=70+6630=106.
因此所求矩形數=315106=209個。

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