問題
令f(x)=∫x0g(t)cos(x−t)dt,其中g是一個給定的在任意點都可微的函數。
(a) 證明f′(x)=g(x)−∫x0g(t)sin(x−t)dt。
[提示:cos(a−b)=cosacosb+sinasinb。]
(b) 求滿足f″的常數a和b。
解答
(a) 根據提示,首先對被積函數g(t) \cos (x-t)展開,如下,
\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \\ &=& \int_{0}^{x} g(t) (\cos x \cos t + \sin x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}
於是
\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t \right] \\ &=& -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot g(x) \cos x + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \sin x \cdot g(x) \sin x \\ &=& g(x) \left( \cos^2 x + \sin^2 x \right) - \int_{0}^{x} g(t) (\sin x \cos t - \cos x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}
(b) 首先計算f''(x)。
\begin{eqnarray*} f''(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f'(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + g(x) \right] \\ &=& - \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t - \sin x \cdot g(x) \cos x - \sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \cos x g(x) \sin x + g'(x) \\ &=& g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}
於是
f''(x) + f(x) = \left[ g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \right] + \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t = g'(x).
所以a=1, b-0。
於是
f''(x) + f(x) = \left[ g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \right] + \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t = g'(x).
所以a=1, b-0。
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