Apostol Linear Algebra Exercise 0.26.8

問題

令$f(x) = \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t$，其中$g$是一個給定的在任意點都可微的函數。

(a) 證明$f'(x) = g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t$。
[提示：$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$。]

(b) 求滿足$f''(x) + f(x) = a g'(x) + b g(x)$的常數$a$和$b$。

解答

(a) 根據提示，首先對被積函數$g(t) \cos (x-t)$展開，如下，

\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \\ &=& \int_{0}^{x} g(t) (\cos x \cos t + \sin x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

於是

\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \sin x \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t \right] \\ &=& -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot g(x) \cos x + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \sin x \cdot g(x) \sin x \\ &=& g(x) \left( \cos^2 x + \sin^2 x \right) - \int_{0}^{x} g(t) (\sin x \cos t - \cos x \sin t) \, {\rm d}t \\ &=& g(x) - \int_{0}^{x} g(t) \sin (x-t) \, {\rm d}t. \end{eqnarray*}

(b) 首先計算$f''(x)$。

\begin{eqnarray*} f''(x) &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} f'(x) \\ &=& \frac{{\rm d}}{{\rm d} x} \left[ -\sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t + \cos x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + g(x) \right] \\ &=& - \cos x \int_{0}^{x} g(t) \cos t \, {\rm d}t - \sin x \cdot g(x) \cos x - \sin x \cdot \int_{0}^{x} g(t) \sin t \, {\rm d}t + \cos x g(x) \sin x + g'(x) \\ &=& g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t.  \end{eqnarray*}
於是
$$f''(x) + f(x) = \left[ g'(x) - \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t \right] + \int_{0}^{x} g(t) \cos (x-t) \, {\rm d}t = g'(x).$$
所以$a=1, b-0$。