大栗博司，《用數學的語言看世界》，第1章，第2節，賭博的不敗之法，公式推導

加州理工學院物理系的大栗博司教授為其女兒撰有《数学の言葉で世界を見たら》一書(介紹頁面連結)(簡體中譯版：《從數學的語言看世界》，人民郵電出版社，介紹頁面連結；繁體中譯版：《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》，臉譜出版社，介紹頁面連結)。

此書深入淺出，讀來彷若一位和藹的父親以親切的語言為愛女講解數學。美中不足之處在於本書部分內容連載於大栗教授的網站，不僅讀來不甚方便，一個更嚴重的問題是那些補充資料都是日文，無論是簡體還是繁體翻譯版都沒有譯出，在在顯示出規劃此書的編輯的眼光不夠深遠。人民郵電出版社的介紹頁面的討論區中，有大陸網友留言：「作者在个人网站补充的一些内容会有翻译吗？日文实在看不懂，要是英文就好了」

我手上的版本是簡體中文翻譯版。我覺得無論是印刷還是排版都勝過台版，更重要的是，簡體版的網站上附有勘誤，這是台灣出版社完全不及中國的。

第1章第2節〈賭博的不敗之法〉的公式推導是刊於網站的補充內容。我不會日文，只能靠著google翻譯，配著數學式去猜測內容。以下內容雖是該公式的推導，但並非大栗教授原文的全譯，一半混雜了我自己的推導，記號也與大栗教授原文略有差異。

首先，假定$m \ge 1$。對於擲出第1次的結果，有2種可能性：以p的機率擲出正面，資金變為$m+1$元；以q的機率擲出反面，資金變為$m-1$元。再從第2次開始，如果是從$m+1$元開始，那麼按照書中的定義，變為N元的機率為$P(m+1, N)$；從$m-1$元開始，變為N元的機率則是$P(m-1, N)$。因此得到遞迴關係式：
$$P(m, N) = p \times P(m+1, N) + q \times P(m-1, N).$$
不難理解$P(0, N) = 0, P(N, N) = 1$。前者的原因為0元毫無翻本的可能；後者好比一起跑就在終點。

(類似的遞迴之推導另可參考我的文章〈台中區國立高級中學103學年度大學入學第一次學科能力測驗聯合模擬考，選填2〉。)

為方便計算，以下記$P(k, N) = a_k$。所以根據上文的討論，我們要求解的即是以下的遞迴式：
$$\left\{ \begin{align*} a_k &= p \times a_{k+1} + q \times a_{k-1}, k \ge 1 \\ a_0 &=0 \\ a_N &= 1 \end{align*} \right.$$
對於遞迴關係$a_k = p \times a_{k+1} + q \times a_{k-1}$，變形為
$$p \times a_{k+1} = a_k - q \times a_{k-1}.$$
左右同時減去$p \times a_k$，於是
$$p \times a_{k+1} - p \times a_k = a_k  - p \times a_k - q \times a_{k-1},$$
注意到$p+q = 1$，所以得
$$p(a_{k+1} - a_k) = q(a_k - a_{k-1}).$$
此為等比關係！故得
$$a_{k+1} - a_k = \left( \frac{q}{p} \right)^k (a_1 - a_0).$$
代入初始條件$a_0 = 0, a_N = 1$，有
$$a_N = \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{N-1} \right] a_1$$
與
$$a_m = \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{m-1} \right] a_1.$$
故
$$\begin{align*}  a_m &=  \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{m-1} \right] a_1 \\ &= \left[ 1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{m-1} \right] \times \frac{a_N}{1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{N-1}} \\ &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^m}{1 - \frac{q}{p}} \times \frac{1}{1 + \left( \frac{q}{p} \right) + \cdots + \left( \frac{q}{p} \right)^{N-1}} \\ &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^m}{1 - \frac{q}{p}} \times \frac{1 - \frac{q}{p}}{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^N} \\ &= \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^m}{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^N}. \end{align*}$$

(證明終了)

參考資料

[1] 大栗博司，第１話　補遺：①　ギャンブラーの破産問題。