兩數的最大值及最小值的表示法

==主旨==

在本份習題中，我們將來探討如何用數學符號來表示任意兩數的最大值以及最小值，然後利用幾何概念和絕對值符號具體寫出最大值及最小值的表示式。

==題目==

1. 對於任意兩實數a, b，我們總能比較出它們之間的大小關係。更進一步有所謂的三一律：「兩實數a, b的大小關係只有可能是$a>b, a=b, a<b$三種可能中的其中一種。」當$a<b$或$a=b$時，我們用$a \le b$來表示；當$a>b$或$a=b$時，我們用$a \ge b$來表示。現在，對於任意兩實數p, q，當$p \ge q$時，我們定義p, q的最大值為$\max (p, q) = p$，最小值為$\min (p, q) = q$。請根據此定義，計算：
   (i) $\max (1, 3), \min (1, 3)$；
   (ii) $\max \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right), \min \left(\sqrt{2}, \frac{7}{2} \right)$；
   (iii) $\max (-1, 2), \min (-1, 2)$；
   (iv) $\max (\pi, \sqrt{\pi}), \min (\pi, \sqrt{\pi})$；
   (v) $\max \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right), \min \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)$。
2. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。命A, B之間的中點為M，試用a, b表示出點M的座標。
3. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。以下哪些選項代表點A與點B之間的距離？
   (A) $a - b$。
   (B) $b - a$。
   (C) $|a - b|$。
   (D) $|b - a|$。
   (E) $\max (a, b) - \min (a, b)$。
4. 在數線上，點A的座標為a，點B的座標為b。請問式子$\frac{|a - b|}{2}$的幾何意義為何？
5. 用幾何意義證明：
   $$\max (a, b) = \frac{a + b + |a - b|}{2}.$$
   [提示：(i) 你得考慮所有情況，不只是$a<b$的情況；(ii) 分數的加法運算：$\frac{p + q}{r} = \frac{p}{r} + \frac{q}{r}$。]
6. 根據上題關於$\max (a, b)$的表示式，請寫出$\min (a, b)$的表示式，然後用幾何意義論述你的式子正確性。