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2019年3月20日 星期三

n次方根函數的連續性

==定理1==

nN,
(i) lim
(ii) \displaystyle \forall a \in \mathbb{R}^+, \lim_{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}

==證明==

(i) \forall \varepsilon > 0,取\delta = \varepsilon^n,則\forall x \in (0, \delta)
|\sqrt[n]{x} - 0| = \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{\delta} = \sqrt[n]{\varepsilon^n} = \varepsilon.

(ii) \forall \varepsilon > 0,取\delta = \sqrt[n]{a}^{n-1}\varepsilon,則\forall x \in (a-\delta, a) \cup (a, a+\delta),利用割圓恆等式
\begin{align*}  |\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}| &= \frac{|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a}| \times {\color{red} {|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|}}}{\color{red} {|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|}} \\ &= \frac{|x - a|}{|\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}|} \\ &= \frac{|x - a|}{\sqrt[n]{x}^{n-1} + \sqrt[n]{x}^{n-2}\sqrt[n]{a} + \cdots + \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{a}^{n-2} + \sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &< \frac{\delta}{\sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &= \frac{\sqrt[n]{a}^{n-1} \varepsilon}{\sqrt[n]{a}^{n-1}} \\ &= \varepsilon.  \end{align*}
(證明終了)

定理1意味著n次方根函數f(x) = \sqrt[n]{x}, x \ge 0在非負實數[0, +\infty)上是連續的。

高木貞治的《解析概論》§10在證明實數指數的指數律(a^x)^y = a^{xy}中用到了「最後一個等式的證明利用x^r[r為有理數]的連續性」,不過高木沒有給出此敘述的證明。以下利用定理1的結果說明此敘述是正確的。

==定理2==

有理冪函數(rational power function)f(x) = x^r, r \in \mathbb{Q}在正實數\mathbb{R}^+上是連續的。

==證明==

假定m, n為正整數。

情形1  r為正有理數,r = \frac{m}{n}

此時f(x) = x^r = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n]{x}^m = \underbrace{\sqrt[n]{x} \times \sqrt[n]{x} \times \cdots \times \sqrt[n]{x}}_{m {\text{個}}}。由定理1知\sqrt[n]{x}是連續函數。再由「連續函數之四則運算結果仍為連續函數」可知f(x) = x^r為連續函數。

情形2  r為負有理數,r = -\frac{m}{n}

此時f(x) = x^r = x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}},其中分母的x^{\frac{m}{n}}情形1可知為連續函數,再根據「連續函數之四則運算結果仍為連續函數」可知f(x) = x^r為連續函數。
(證明終了)

[附記]
這種分情形的手法是我學自H. B. Fine(維基百科介紹頁面)的A College Algebra(網際網路資料庫Archive的掃描檔)。

==參考資料==

[1] 高木貞治,解析概論(改訂第3版),岩波書店。(簡體中譯本:馮速等譯,《高等微積分》,人民郵電出版社)
[2] H. B. Fine, A College Algebra, Ginn and the Company. (繁體中譯本:駱師曾等譯,莊禮深校,《范氏大代數》,世界書局)

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