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2019年8月17日 星期六

1 The positive integer

==自然數/正整數==

正整數(Positive integer):1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。

==基本運算:加法、乘法==

a,bN,可計算它們的和(sum) a+b與積(product) ab

加法封閉性:正整數+正整數=正整數。

乘法封閉性:正整數×正整數=正整數。

==運算律==

交換律(commutative law):

加法:a+b=b+a

乘法:ab=ba

結合律(associative law)

加法:a+(b+c)=(a+b)+c

乘法:a(bc)=(ab)c

分配律(distribution law)

a(b+c)=ab+ac

==例子==

證明:7(36)=6(37)

[解].
7(36)=(73)6[乘法結合律]=6(73)[乘法交換律]=6(37)[乘法交換律]
(解答結束)

證明:a(b+c)=ca+ab

[解].
a(b+c)=ab+ac[分配律]=ac+ab[加法交換律]=ca+ab[乘法交換律]
(解答結束)

==不具備一般運算律的例子==

定義ab=2a,ab=2ab

ab=2a,而ba=2b,所以abba,不滿足加法交換律。

ab=2ab,而ba=2ba=2ab,有ab=ba,滿足乘法交換律。

a(bc)=a2b=2a,而(ab)c=2ac=2(2a)=4a,所以a(bc)(ab)c,不滿足加法結合律。

a(bc)=a2bc=2a(2bc)=4abc,而(ab)c=2abc=2(2ab)c=4abc,有a(bc)=(ab)c,滿足乘法結合律。

a(bc)=a2b=2a(2b)=4ab,而abac=2ab2ac=2(2ab)=4ab,有a(bc)=abac,滿足分配律。

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