==自然數/正整數==
正整數(Positive integer):1, 2, 3, ...。也稱為自然數(Natural number)。==基本運算:加法、乘法==
∀a,b∈N,可計算它們的和(sum) a+b與積(product) ab。加法封閉性:正整數+正整數=正整數。
乘法封閉性:正整數×正整數=正整數。
==運算律==
交換律(commutative law):
加法:a+b=b+a。乘法:ab=ba。
結合律(associative law)
加法:a+(b+c)=(a+b)+c。乘法:a(bc)=(ab)c。
分配律(distribution law)
a(b+c)=ab+ac。==例子==
證明:7(3⋅6)=6(3⋅7)。[解].
7(3⋅6)=(7⋅3)6[乘法結合律]=6(7⋅3)[乘法交換律]=6(3⋅7)[乘法交換律]
(解答結束)
證明:a(b+c)=ca+ab。
[解].
a(b+c)=ab+ac[分配律]=ac+ab[加法交換律]=ca+ab[乘法交換律]
(解答結束)
==不具備一般運算律的例子==
定義a⊕b=2a,a⊙b=2ab。a⊕b=2a,而b⊕a=2b,所以a⊕b≠b⊕a,不滿足加法交換律。
a⊙b=2ab,而b⊙a=2ba=2ab,有a⊙b=b⊙a,滿足乘法交換律。
a⊕(b⊕c)=a⊕2b=2a,而(a⊕b)⊕c=2a⊕c=2(2a)=4a,所以a⊕(b⊕c)≠(a⊕b)⊕c,不滿足加法結合律。
a⊙(b⊙c)=a⊙2bc=2a(2bc)=4abc,而(a⊙b)⊙c=2ab⊙c=2(2ab)c=4abc,有a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c,滿足乘法結合律。
a⊙(b⊕c)=a⊙2b=2a(2b)=4ab,而a⊙b⊕a⊙c=2ab⊕2ac=2(2ab)=4ab,有a⊙(b⊕c)=a⊙b⊕a⊙c,滿足分配律。
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