用排容原理解機率題目

==問題==

某學校有並排的6間空房，任意分給新到的教師(一人一間)，求甲、乙兩位教師的房間均不與丙的房間相鄰的機率。

==出處==

沈文選、楊清桃，數學應用展觀，哈爾濱工業大學出版社，2018。第5章，思考題4

==解答==

命$\Omega$為任意排列所構成的樣本空間，事件$A=$甲與丙相鄰，事件$B=$乙與丙相鄰。

因此$A^c=$甲不與丙相鄰，$B^c=$乙不與丙相鄰，而$A^c \cap B^c=$甲、乙均不與丙相鄰。

由De Morgan定理，得
\begin{align*}n(A^c \cap B^c) &= n[(A \cup B)^c] \\ &= n(\Omega) - n(A \cup B) \\ &= n(\Omega) - [n(A) + n(B) - n(A \cap B)] \\ &= n(\Omega) - n(A) - n(B) + n(A \cap B).\end{align*}
以下分別計算$n(\Omega), n(A), n(B)$以及$n(A \cap B)$。

顯然$n(\Omega) = 6! = 720$。

將宿舍編號為1, 2, 3, 4, 5, 6。以甲、丙而論，若要相鄰，則可先取相鄰的兩間，如(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)，共5種可能。入住後，甲、丙可再交換，然後再讓其他人入住。因此
$$n(A) = 5 \times 2! \times 4! = 5 \times 2 \times 24 = 240.$$
同理亦有
$$n(B) = 5 \times 2! \times 4! = 5 \times 2 \times 24 = 240.$$

接著，對於$A \cap B$，此時甲、乙、丙三人入住，那麼可以取(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6)共4種可能。入住後，僅有可能為「甲、丙、乙」或是「乙、丙、甲」(丙一定只能是在中心位置)。因此得
$$n(A \cap B) = 4 \times 2! \times 3! = 4 \times 2 \times 6 = 48.$$

從而有
$$n(A^c \cap B^c) = n(\Omega) - n(A) - n(B) + n(A \cap B) = 720 - 240 - 240 + 48 = 288,$$
所以
$$P(A^c \cap B^c) = \frac{n(A^c \cap B^c)}{n(\Omega)} = \frac{288}{720} = \frac{2}{5}.$$