三位薩德勒里安(Sadleirian)講座教授：佛賽斯(A. R. Forsyth)、霍布森(E. W. Hobson)與哈代(G. H. Hardy)
H. T. H. 皮亞喬 教授，文學碩士、理學博士 (Prof H. T. H. Piaggio, M.A., D.Sc.) [譯註1]
[譯註1] 皮亞喬（Henry Thomas Herbert Piaggio） 是二十世紀著名的數學家，當時任教於諾丁漢大學（University of Nottingham）。他最為人所知的成就之一是編寫了經典的《微分方程式》（An Elementary Treatise on Differential Equations and their Applications）教材 (中譯本由余介石與周雪鷗合譯，國立編譯館1935年出版)，這本教科書在當時的數學界與工程界有著極高的影響力。物理學家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）在 1938 年的聖誕假期（當時年僅 15 歲），因為正值二戰初期，學校放假且躲避空襲，他決定待在家中自學數學。他買來了皮亞喬的這本《微分方程》，並給自己設定了一個極其艱巨的目標「做完所有習題」。：戴森回憶說，他在那個假期裡，從頭到尾做完了皮亞喬書中所有的習題（書中總共有數百道題目，且難度不低）。戴森表示正是這段瘋狂解題的經歷，讓他建立了對數學分析的強大直覺與自信，並使他在後來的物理生涯中（特別是在量子電動力學的數學處理上）展現出驚人的計算能力。他將這本書視為他在數學路上的啟蒙明燈。
在本月，已在牛津大學任職十一年的哈代（G. H. Hardy）教授將回到劍橋，接任因霍布森（Hobson）教授辭職而空缺的薩德勒里安數學講座教授席位。這似乎是一個絕佳的契機，讓我們回顧薩德勒里安講座的歷史，以及曾擔任此席位的三位卓越當代數學家。他們三位都曾擔任過數學協會（Mathematical Association）的主席，並對數學學科的教學產生了深遠的影響。我們將詳述他們在教學方面的貢獻；同時也會略微記述他們的研究成果，雖然從更高的學術角度來看，研究才是他們最重要的成就，但本文並不打算對其原創性研究工作進行全面的評價。
薩德勒里安（Sadleirian，或作 Sadlerian）講座的創立可追溯至瑪麗·薩德勒夫人（Lady Mary Sadleir）的遺贈［關於薩德勒里安講座歷史的這段敘述，是取材自佛賽斯教授為首任講座教授凱萊（Professor Cayley）所撰寫的訃告（載於《皇家學會學報》第 58 卷，1895 年；後收錄於凱萊的《數學論文集》）］。她在 1701 年的遺囑中，將一份地產捐贈給劍橋大學，其收益用於資助九所學院的代數學講師。這筆捐款於 1710 年開始啟用，講師職位也隨之設立。然而，隨著學術研究範圍不斷擴張，僅限於數學單一分支的限制，使得這些講座逐漸失去了大部分價值。事實上，一段時間之後，這些課程已難以吸引任何人聽講，該捐贈也未能達成創立者的初衷。最終，由於情況明顯惡化，遂產生了一項提議：廢除這些講師職位，並將資金轉而資助一個教授席位，稱為「薩德勒里安純粹數學教授 (Sadlerian Professorship of Pure Mathematics)」。此案於 1857 年獲得批准，並於 1863 年正式實施。在設立該席位的章程中，拼法為 Sadlerian，前兩任繼任者亦始終沿用此拼法；但自那時起，人們更偏好使用 Sadleirian，因為這更貼近創立者的姓氏原貌。教授的職責是在每學年的其中一個學期開設一門課程，並負責「闡釋純粹數學的原理」。1886 年後，該職位的津貼（起初很微薄）有所增加，並要求開設兩門課程。當時的人們期望薩德勒里安教授及其他數學教授能與大學生建立聯繫，但「數學榮譽學位考試」（Mathematical Tripos）僵化如鐵的體制阻礙了這一點。對於那些未來前途完全取決於高度競爭考試之名次排序（order of merit）的大學生來說，考試內容被嚴格限制在刻板的教學大綱內，他們不可能將時間「浪費」在那些正熱切擴展知識疆界、探求新真理的教授身上，因為這些真理通常過於複雜，無法在三小時的考試中處理。於是產生了一個奇怪的悖論：劍橋擁有一批卓越的教授，但他們的講座對最優秀的學生也幾乎沒有（或完全沒有）影響，且大多數大學生對他們完全不熟悉。
第一任薩德勒里安教授是亞瑟·凱萊（Arthur Cayley，1821-1895），他是十九世紀最偉大的數學家之一。此處無需詳述其生平與著作，在前文註釋中提到的佛賽斯教授相關文章中，可以找到極其詳盡的敘述。
第二任薩德勒里安教授是安德魯·羅素·佛賽斯（Andrew Russell Forsyth）。他於 1858 年 6 月 18 日出生於格拉斯哥，先後就讀於利物浦學院（Liverpool College）與劍橋大學三一學院。他在 1881 年以「數學榮譽學位考試第一名」（Senior Wrangler）及「史密斯獎」（Smith's Prizeman）第一名的優異成績畢業，並於同年當選三一學院院士。
他曾短暫擔任（1882-1883 年）利物浦大學學院（University College, Liverpool，現為利物浦大學）的數學教授。1884 年，他回到劍橋擔任學院與大學講師及助理導師。1895 年，他接替凱萊的職位，其首要任務是編輯前任教授全集中尚未出版的部分。他一直擔任薩德勒里安教授，直到 1910 年辭職為止。在印度短暫停留期間，他受邀向加爾各答大學的教授與博士們發表演講，這些講稿於 1913 年彙整出版為《二元及多元複變函數論》（Functions of two or more Complex Variables）。1913 年，他出任帝國理工學院（Imperial College of Science and Technology）的首席數學教授。他於 1923 年自該職位退休，但這並不代表他放慢了活動腳步，反而成為他拓寬研究興趣的契機。
佛賽斯教授始終是一位著作等身的作家。憑藉其研究成果與著作，他很快就獲得了極高的聲望，而他早期的工作主要與微分方程相關。他的《微分方程論》（Treatise on Differential Equations）於 1885 年首度出版，目前已發行至第六版，曾被《數學公報》(Mathematical Gazette)（1903 年 5 月，第 2 卷，第 295 頁）譽為英語世界中對該學科最清晰、準確且詳盡的闡述。該書已被翻譯成德文與義大利文。隨後，他出版了巨著《微分方程理論》（Theory of Differential Equations），全書共六卷，於 1890 年至 1906 年間陸續面世。即使是德國人，恐怕也未曾對該學科進行過如此大規模的處理。在佛賽斯教授本人的研究中，卡卓里（Cajori）的《數學史》特別提到了微分不變量（Differential Invariants）、倒數型不變量（Reciprocants）以及奇解（Singular Solutions）。他應用微分方程的方法尋找代數上完備的不變量與共變量系統，並對某些在相對論著作中被草率處理的微分方程進行了完整的討論。1906 年，他在向倫敦數學學會發表的（主席致辭）中，對偏微分方程的現狀進行了極具價值的總結，並指出進一步研究的契機。
然而，佛賽斯教授的興趣從不侷限於單一學科。1893 年，他的《複變函數論》（Treatise on the Theory of Functions of a Complex Variable）付梓，目前已至第三版。在他擔任薩德勒里安講座教授期間，他講授的主題包括微分幾何與變分法。他的微分幾何講義於 1912 年結集成冊出版。他的變分法講座是劍橋最早闡述魏爾斯特拉斯（Weierstrass）理論的課程：這些內容體現在 1927 年出版的一部專著中，該書擴展了該學科的整個範疇，並包含了許多新的研究成果。1928 年，他編輯了已故伯恩賽德（Burnside）教授的《機率論》，並於 1930 年出版了自己的兩卷本《四維幾何》。在他的小品著作中，值得一提的有《生活與思想中的數學》（*Mathematics in Life and Thought*，1929 年）以及幾篇傳記短文；其博大精深且細緻入微的知識，使他能以一種研究範圍狹窄者無法企及的方式，處理卓越數學家的生平與成就。自然地，佛賽斯教授獲得了無數榮譽。他於 1886 年當選為英國皇家學會院士，並於 1893 至 1895 年間任職於理事會，1897 年獲頒皇家獎章。他曾於 1903 至 1905 年擔任數學協會主席，1904 至 1906 年擔任倫敦數學學會主席。阿伯丁、加爾各答、克里斯蒂安尼亞（Christiania）、都柏林、格拉斯哥、利物浦、牛津與維多利亞大學皆授予他名譽學位。他也是多個學術團體（包括義大利、俄羅斯與美國）的名譽會員。
佛賽斯教授的工作中最令我們感到共鳴的部分，是他在改進幾何教學中所扮演的角色。三十多年來，以我們協會為代表的數學教師們一直致力於讓學校擺脫歐幾里得（Euclid）教材的束縛，但這些努力徒勞無功，直到他們在英國科學促進會（British Association）、像佩里（Perry）教授這樣的工程師，以及像佛賽斯教授這樣的劍橋數學家中找到了盟友。在 1901 年格拉斯哥的一次討論之後（佩里教授在其中扮演了領導角色），英國科學促進會成立了一個委員會，研究數學教學可能實施的改進方案。該委員會的報告由主席佛賽斯教授起草，發表於《數學報》（1902 年 10 月，第 2 卷，第 197-201 頁）。該報告措辭謹慎，避免了某些熱情改革者的誇大其詞，這無疑為後來的決定性步驟鋪平了道路，即劍橋大學採納了一個特別委員會（其成員包括佛賽斯教授、巴納德先生、高德弗里先生與西登斯先生等人）的建議，制定了新的幾何教學大綱，首度取消了對歐幾里得教材的強制要求。這些建議起初是針對「初級入學考試」（Previous Examination）提出的，不久後便被劍橋地方考試委員會採納，推行至全國。因此，我們可以將佛賽斯教授視為本協會的「摩西」，在荒野中度過多年艱辛歲月後，終於帶領我們進入了幾何改革的「應許之地」。他對本協會工作的其他貢獻還包括主持關於「數學與科學教學協調性」的討論（1910 年 3 月，第 5 卷，第 244-252 頁）、在倫敦分會發表關於「力學與物理學中的微分方程」主席致辭（1922 年 5 月，第 11 卷，第 73-81 頁），以及關於「幾何中的維度」的文章（1931 年 3 月，第 15 卷，第 325-338 頁）。
第三任薩德勒里安教授是厄內斯特·威廉·霍布森（Ernest William Hobson）。他於 1856 年 10 月 27 日出生於德比（Derby），先後就讀於德比學校與劍橋大學基督學院。他在 1878 年以「數學榮譽學位考試第一名」（Senior Wrangler）的優異成績畢業。隨後當選為基督學院院士並擔任導師。1903 年，他出任史托克斯講師（Stokes Lecturer），並擔任此職直至 1910 年當選為薩德勒里安講座教授。他一直擔任該席位至今年（1931年）9 月 30 日為止。
1891 年，他出版了《平面三角學論》（Treatise on Plane Trigonometry）的第一版。多年來，這本書的後半部分是英語世界中除了克里斯托（Chrystal）的《代數學》（Algebra）之外，唯一能見到關於複數與無窮級數之精確論述的地方。1907 年，他在三角學領域的名聲被其巨著《實變函數論與傅立葉級數理論》（Treatise on the Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series）所掩蓋。針對此書，W. H. 楊（W. H. Young）教授曾在《數學公報》（1923 年 12 月，第 11 卷，第 428 頁）中評論道：「這類理論在當時性質極為新穎，甚至對於一般的職業數學家來說亦是如此。該書是當時對此唯一系統性的論述，作者與出版商當初很可能都曾對此冒險之舉能否成功深感懷疑。」後來，該書的篇幅增加了一倍，並分為兩卷，分別於 1921 年與 1926 年出版。第一部分的第三版於 1927 年問世，內容進一步擴充。這部完整的著作構成了迄今為止任何語言中對該學科最詳盡的論述。此外，一部關於《球面與橢圓調和函數論》（The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics）的綜合性專著也即將出版。霍布森教授篇幅較小的著作還包括《化圓為方》（Squaring the Circle，1913 年）以及《自然科學的領域》（The Domain of Natural Science，1923 年；此為他在阿伯丁大學發表的吉福德講座系列講稿）。
霍布森教授的大部分研究都與實變函數論有關，但他也處理過勒讓德（Legendre）函數與貝索（Bessel）函數、積分方程、位能理論、熱傳導以及變分法。他於 1902 年向倫敦數學學會發表的主席致辭題為《數學分析中的無窮大與無窮小》（*The Infinite and Infinitesimal in Mathematical Analysis*）。倫敦數學學會的《學報》共收錄了他的三十九篇論文。
霍布森教授於 1893 年當選為英國皇家學會院士，於 1903 至 1905 年及 1928 至 1930 年間任職於理事會，並於 1907 年獲頒皇家獎章。倫敦數學學會於 1900 至 1902 年間選他為主席，並於 1920 年授予他德摩根獎章（De Morgan Medal）。阿伯丁、都柏林、曼徹斯特、牛津、聖安德魯斯與謝菲爾德大學皆授予他名譽學位，他也是愛爾蘭、德國與義大利多個學術團體的會員。
霍布森教授曾在 1911 至 1913 年間擔任本協會主席。他的主席致辭題目分別為《數學教育的民主化》（The Democratization of Mathematical Education）與《論僅用圓規的幾何作圖》（On Geometrical Constructions by Means of the Compass）。這些文章分別刊載於《數學報》1912 年 3 月第 6 卷（第 234-242 頁）及 1913 年 3 月第 7 卷（第 49-54 頁）。或許霍布森教授對數學教學改革事業最大的貢獻，在於他（與佛賽斯、貝克及哈代教授共同）積極促成廢除「數學榮譽學位考試」中的名次排序制度。令人驚訝的是，這種竟能將威廉·湯姆森（William Thomson，即後來的克爾文勳爵）評為第二名，而將第一名給予一位完全缺乏原創性者的制度（此事發生於 1845 年），竟然持續了這麼久。直到 1909 年，多虧了一群堅定的改革者，這套制度才宣告終結，而這三位薩德勒里安教授在其中皆扮演了舉足輕重的角色。
第四任，亦即現任的薩德勒里安教授是高德弗里·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy）。他於 1877 年 2 月 7 日出生，先後就讀於溫切斯特公學與劍橋大學三一學院。1898 年，他在數學榮譽學位考試中名列第四（Fourth Wrangler）。1900 年，他在榮譽學位考試第二部分中獲得第一級第一等（First Division of the First Class）的成績。同年，他當選為三一學院院士。有一段時間，他與 1901 年另一位史密斯獎得主金斯先生（Mr J. H. Jeans，即後來的詹姆士·金斯爵士）共同指導學生，一人教授純粹數學，另一人教授應用數學。1906 年，他成為三一學院講師，並於 1914 年接替 H. F. 貝克博士擔任凱萊講師。他一直擔任這些職務直到 1919 年，隨後被任命為牛津大學薩維爾幾何學教授（Savilian chair of Geometry）。他在今年辭去該職，並於 10 月回到劍橋接任薩德勒里安教授的職責。
哈代教授的研究產出極其豐碩。單是在《倫敦數學學會學報》（*Proceedings of the London Mathematical Society*）中，便已發表了超過六十篇論文，在其他英國及外國期刊中還有更多作品。這些論文大多涉及級數的收斂性或是解析數論。其中有幾篇是與李特爾伍德（Littlewood）教授合作撰寫的。朗道（Landau）在 1927 年出版的《數論講義》（*Vorlesungen über Zahlentheorie*）中，重點介紹了一組被他稱為第一、第二、第三及第四哈代-李特爾伍德定理的定理群。他還提到了哈代恆等式、哈代-朗道恆等式，以及哈代關於 Zeta 函數零點的定理。哈代收斂定理現已成為標準教材；在惠塔克（Whittaker）與華生（Watson）的《現代分析》（*Modern Analysis*）第八章中即可找到。有趣的是，一些外國作者（例如在《數學學報》*Acta Mathematica* 中）將哈代-李特爾伍德方法作為其研究工作的起點。許多卓越的劍橋數學家在數學界其他領域幾乎不為人知，但哈代教授從未與世隔絕。
正是哈代教授的一部著作（1910 年出版的小冊子《無窮級數的階》[Orders of Infinity]）激發了印度天才拉馬努金（Ramanujan）的想像力。隨後的書信往來，最終促成了拉馬努金前往劍橋定居。然而，拉馬努金在自我表達的能力上顯得異常薄弱；若非哈代教授付出了無私的努力，將他的研究成果整理成邏輯嚴謹、易於理解的形式，他的論文恐怕永遠都無法面世。
哈代教授曾撰寫三本《劍橋數學與數學物理學小冊子》（Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics）。其中一本（即《無窮級數的階》）在前文已提及；另外兩本分別是《單變數函數的積分》（The Integration of Functions of a Single Variable，1905 年）與《狄利克雷級數的一般理論》（The General Theory of Dirichlet's Series，1915 年，與 M. 里斯 [M. Riesz] 合作）。
哈代教授唯一的教科書《純數學教程》（A Course of Pure Mathematics）於 1908 年首度問世。已故的 A. 貝里（A. Berry）先生在評論該書第五版時（見 1929 年 4 月《數學公報》第 14 卷，第 428-429 頁）曾表示：「他在這本書及其他作品中展現出一種引人入勝的力量，在我看來，除了 M. 皮卡（M. Picard）之外，我剛才提到的任何一位傑出人物都無法與之相比。我向哈代教授建議，如果他能將原本用於『進一步縮小環繞黎曼 $\zeta$ 函數（Riemann's Zeta-function）未知零點之封鎖線』以及處理類似問題的部分心力與時間，轉而投入於此目的（指撰寫一部內容詳盡的分析學專著），或許能為英國數學界提供更大的貢獻。」
哈代教授於 1910 年當選為英國皇家學會院士，並於 1920 年獲頒皇家獎章。他曾於 1926 至 1928 年間擔任倫敦數學學會主席，並於 1924 至 1926 年間擔任數學協會主席。伯明罕、曼徹斯特、馬堡與奧斯陸大學皆曾授予他名譽學位；此外，他也是奧地利、捷克斯洛伐克、丹麥、德國、印度、波蘭、俄羅斯、瑞典與美國等多個學術團體的會員。
哈代教授對《數學報》的貢獻始終貫穿著一個鮮明的主導主題：他一生都在與英國數學趨向刻板化、以及與國外當前趨勢脫節的傾向作鬥爭。眾所周知，牛頓之後的那一代人排他性地堅持牛頓的方法，而忽略了歐洲大陸所發展出更強大的方法。這使得劍橋與英國數學陷入孤立狀態，直到十九世紀初，才經由伍德豪斯（Woodhouse）以及「分析學會」（Analytical Society，成員包括皮考克 [Peacock]、巴貝奇 [Babbage] 與赫歇爾 [Herschel]）的努力才得以解救。
顯然，這種局面有重演的趨勢。哈代教授早期對《數學報》的貢獻包括幾篇書評，他在文中嚴厲抨擊了那些複刻錯誤的教科書，而這些錯誤遺憾地已成為英國作者間的傳統。他觀點最精確的闡述見於他的兩篇主席致辭：《何謂幾何？》（*What is Geometry?*，1925 年 3 月，第 12 卷，第 309-316 頁）與《反對數學榮譽學位考試之辯》（*The Case against the Mathematical Tripos*，1926 年 3 月，第 13 卷，第 61-71 頁）。他宣稱「榮譽考試數學基本上是一堆精心構思的無用之物（elaborate futilities）」之說大致屬實，並引用一位外國友人的意見，稱英國數學的特徵在於「偶爾閃現的洞見，以及足以證明能力確實存在但彼此孤立的成就，但在大多數情況下，卻表現出業餘傾向、無知、無能與瑣碎」。
他將這些弊端歸咎於「數學榮譽學位考試」制度。「該制度在原則上是病態的，而且……這種弊病對於通常所謂的改革來說太過根深蒂固。我不想改革榮譽考試，而是想摧毀它。」這篇致辭是本協會歷史上最令人震撼的演講之一，給所有聽眾留下了深刻印象。大多數人認同他對現行制度的譴責，但也擔心他所提議的激進補救措施可能會帶來更糟糕的結果。
數學協會祝願哈代教授在擔任薩德勒里安講座教授期間取得圓滿成功。
沒有留言:
張貼留言