國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第9題

=題目=

2025 年國際數學奧林匹亞競賽在澳洲的黃金海岸 (Gold Coast) 舉行，計有 630 人參加，競賽共六道試題，每一題滿分為 7 分，第一題全體參賽選手的得分分佈如下。問：

(1) 中位數是幾分？

(A) 3

(B) 3.5

(C) 4

(D) 5.2

(E) 7

(2) 第一四分位數是幾分？

(A) 1.75

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

=答案=

(1) 中位數為 7 分，故選 (E)。

(2) 第一四分位數為 3 分，故選 (C)。

=詳解=

【題目分析】

本題給出了 630 名參賽者的得分分佈表，得分範圍為 0 到 7 分。我們需要根據累積人數來找出：

1. 中位數 (Median, $Me$ 或 $Q_2$)：將數據從小到大排序後，位於最中間的數值。

2. 第一四分位數 (First Quartile, $Q_1$)：將數據從小到大排序後，位於第 25% 位置的數值。

 【核心概念】

1. 總人數 $N = 630$。

2. 累積次數表：為了方便定位，我們需要計算各得分的累積人數：

   - 0 分：60 人（累積 60 人）

   - 1 分：26 人（累積 $60 + 26 = 86$ 人）

   - 2 分：58 人（累積 $86 + 58 = 144$ 人）

   - 3 分：31 人（累積 $144 + 31 = 175$ 人）

   - 4 分：14 人（累積 $175 + 14 = 189$ 人）

   - 5 分：19 人（累積 $189 + 19 = 208$ 人）

   - 6 分：54 人（累積 $208 + 54 = 262$ 人）

   - 7 分：368 人（累積 $262 + 368 = 630$ 人）

 【逐步解法】

 (1) 計算中位數：

1. 總人數 $N = 630$ 為偶數。

2. 中位數位置應為第 $\frac{630}{2} = 315$ 位與第 $316$ 位數值的平均。

3. 觀察累積人數：

   - 前 262 人的得分都在 0 到 6 分之間。

   - 第 263 人到第 630 人的得分全部都是 7 分。

4. 因此，第 315 位與第 316 位同學的得分皆為 7 分。

   - 中位數 = $\frac{7 + 7}{2} = 7$。

 (2) 計算第一四分位數 ($Q_1$)：

1. 計算 $N \times \frac{1}{4} = 630 \times 0.25 = 157.5$。

2. 根據統計學定義（高中常用標準）：若 $N \cdot p$ 不是整數，則取「大於該數的最小整數」位置的數值。

   - 即找尋第 $\lceil 157.5 \rceil = 158$ 位同學的得分。

3. 觀察累積人數：

   - 得分 2 分及以下共有 144 人。

   - 得分 3 分及以下共有 175 人（包含第 145 到 175 位）。

4. 因此，第 158 位同學的得分正好落在 3 分 的區間。

   - $Q_1 = 3$。