=題目=
阿賀想用數學歸納法證明：連續正整數 $1, 2, 3, \dots, n$ 的標準差為 $\sqrt{\frac{(n+1)(n-1)}{12}}$。
阿賀的證明過程：
1. Step ①：檢查 $n=1$。$1$ 個數字的標準差是 $0$，代入公式 $\sqrt{\frac{(1+1)(1-1)}{12}} = 0$，原命題成立。
2. Step ②：假設 $n=k$ 時原命題成立，即 $1, 2, 3, \dots, k$ 的標準差是 $\sqrt{\frac{(k+1)(k-1)}{12}}$。
3. Step ③：當 $n=k+1$ 時，要證明 $1, 2, 3, \dots, k, k+1$ 的標準差是 $\sqrt{\frac{(k+2)k}{12}}$。
4. Step ④：先算出 $1, 2, 3, \dots, k, k+1$ 的平均是 $\frac{1}{k+1}(1+2+\dots+k+1) = \frac{k+2}{2}$。
5. Step ⑤：利用標準差公式計算：
$$\sqrt{\frac{1}{k+1}(1^2+2^2+\dots+(k+1)^2) - \left(\frac{k+2}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{(k+2)(2k+3)}{6} - \frac{(k+2)^2}{4}} = \dots = \sqrt{\frac{(k+2)k}{12}}$$
如此由數學歸納法可知原命題成立。
待解決問題：
1. 請問上述證明過程有沒有錯？如果有，錯在哪一步？原因為何？
2. 加分題：老師說若想用歸納法處理，應使用歸納法的核心精神（利用 $n=k$ 的假設）。請試著寫下正確的數學歸納法證明。
=答案=
見詳解
=詳解=
【題目分析】
這題的重點在於「數學歸納法」的規範：
1. 阿賀的錯誤：他在證明 $n=k+1$ 時，直接使用了「平方和公式」，這在數學上雖然沒錯，但不符合歸納法的邏輯。歸納法必須「強迫」使用到 $n=k$ 時的假設，才能稱為歸納證明。
2. 修正目標：我們要從 $n=k$ 的標準差假設出發，推導出 $n=k+1$ 的結果。
【核心概念】
1. 變異數公式：$\text{變異數} = \frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{n} - (\text{平均數})^2$。
2. 標準差：即變異數開根號。
【逐步解法】
第一部分：回答問題
有沒有錯？ 有。
錯在哪一步？ 第 ⑤ 步。
原因：數學歸納法的核心是「利用 $n=k$ 的假設來推導 $n=k+1$」。阿賀在第 ⑤ 步直接套用了平方和公式，沒有用到他在第 ② 步所做的假設，這樣這一步就變成一般的代數運算，而不是歸納證明。
第二部分：加分題（正確的證明過程）
1. 基礎步驟：
當 $n=1$ 時，資料只有 $\{1\}$，平均數 $\mu_1 = 1$。
標準差為 $\sqrt{\frac{1^2}{1} - 1^2} = 0$。
代入公式：$\sqrt{\frac{1^2-1}{12}} = 0$。故 $n=1$ 時命題成立。
2. 歸納假設：
假設 $n=k$ 時命題成立，即 $1, 2, \dots, k$ 的變異數滿足：
$$\frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} - \left(\frac{k+1}{2}\right)^2 = \frac{k^2-1}{12}$$
為了後續推導方便，我們將這個假設整理一下，算出前 $k$ 項平方和：
$$\frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{k^2-1}{12} + \frac{(k+1)^2}{4}$$
$$\frac{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}{k} = \frac{(k-1)(k+1) + 3(k+1)^2}{12} = \frac{(k+1)[(k-1) + (3k+3)]}{12} = \frac{(k+1)(4k+2)}{12} = \frac{(k+1)(2k+1)}{6}$$
得：$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ （這是從 $n=k$ 假設延伸出來的關鍵武器）。
3. 推導步驟：
當 $n=k+1$ 時，新資料為 $\{1, 2, \dots, k, k+1\}$，新平均數 $\mu_{k+1} = \frac{k+2}{2}$。
我們計算 $n=k+1$ 的變異數：
$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{(1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2}{k+1} - \left(\frac{k+2}{2}\right)^2$$
此時，帶入剛才由假設得到的「武器」：
$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2}{k+1} - \frac{(k+2)^2}{4}$$
上下同時除以 $(k+1)$：
$$\text{變異數}_{k+1} = \left[ \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) \right] - \frac{(k+2)^2}{4}$$
通分（分母皆化為 12）：
$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{2(2k^2+k) + 12(k+1) - 3(k^2+4k+4)}{12}$$
$$\text{變異數}_{k+1} = \frac{(4k^2+2k+12k+12) - (3k^2+12k+12)}{12} = \frac{k^2+2k}{12}$$
將分子整理成公式的形式：$\frac{k^2+2k}{12} = \frac{(k+1+1)(k+1-1)}{12}$。
開根號後，得標準差為 $\sqrt{\frac{(k+2)k}{12}}$，與原公式 $n=k+1$ 代入的結果一致。
4. 結論：
由數學歸納法知，對所有正整數 $n$，此標準差公式皆成立。
沒有留言:
張貼留言