國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解

詳解

第1題    第2題    第3題    第4題    第5題

第6題    第7題    第8題    第9題    第10題

第11題    第12題

評論

這是一份有不少瑕疵的考卷。

第6題：「平均成長率」定義模糊

細菌數量為線性（第k天恰k×100），絕對增加量固定（每天+100），但「成長率」通常指相對成長率（(新-舊)/舊）。若為相對率，則第1–3天最高；若為絕對，則都一樣（選E）。統計原理中「成長率」多指相對，選項設計易引起爭議。建議明確寫「每日平均相對成長率」或「絕對成長量」。

第7題：高一學生難以用嚴格數學證明(E)選項對錯

雖然(E)整體方向正確（刪除極值通常會讓標準差變小），但「平均數和標準差都會變小」這個「都」字，讓選項變成嚴格的複合陳述，而高一學生若要嚴謹判斷（用證明或反例），確實有難度。以下根據108課綱（D-10-2數據分析：平均數、標準差性質）、教科書內容及統計原理，詳細說明。

1. (E)的正確性判斷

(E)主張：「將十筆相異正數數據中最大和最小的都刪除，則剩下八筆的平均數和標準差都會變小。」

• 標準差部分：幾乎總是變小（但嚴格來說不是「必定」）。  

 理由：標準差測量離散程度，移除兩個極端值（min與max）必然縮小資料範圍與偏差平方和，母體標準差公式 \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(x_i-\mu)^2}\) 在n減少且極值移除後，通常會下降。  

但要嚴格證明「必定變小」，高一學生很困難（需考慮所有可能配置、證明 \(\sigma_{\text{new}} < \sigma_{\text{old}}\)），教科書也只教「移除極值會使變異數減小」這個經驗法則，沒有形式證明。

• 平均數部分：完全不必然變小（可能變大、變小或不變）。  

  這是(E)最致命的問題。  
  數學上：設原始十筆資料總和 \(S\)，平均 \(\mu = S/10\)。  
  刪除 \(\min = m\)、\(\max = M\) 後，新平均  
  \[\mu' = \frac{S - m - M}{8}\]  
  比較 \(\mu', \mu\) 可得：  
  \[\mu' > \mu \iff S > 5m + 5M \iff \text{中間8筆的平均} > \mu\]  
  這完全取決於 \(m\) 和 \(M\) 相對於 \(\mu\) 的距離，與偏度有關，不是固定結果。

2. 高一學生要「嚴謹判斷(E)」的困難度

主要原因如下：

• 舉反例容易，但考場上難以即時想到：  

高一學生只需國中算術就能驗證平均數，但要自己構造一個「平均數反而變大」的反例，需要靈活操作「讓min遠離平均值，而max靠近平均值」。  

  例如一個簡單反例（所有正整數、相異）：  

  資料：1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  

  原總和 = 64，\(\mu = 6.4\)  

  刪除 1 與 11 後，剩下總和 = 52，\(\mu' = 6.5 > 6.4\)（平均數變大）  

  標準差明顯變小（範圍從1–11縮小到3–10）。

  另一反例（更極端）：1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18  

  原 \(\mu = 12.7\)，刪除後 \(\mu' = 13.5\)（變大）。

這些反例只需加減即可驗證，但學生在70分鐘考場上，若沒預先練習過「trimmed mean」的行為，很容易漏掉，誤以為「刪極值平均一定下降」。

• 要「證明」更不可能：  

  高一只學「平均數是總和除以個數」「標準差公式」，沒有工具證明「\(\mu'\) 與 \(\mu\) 的關係」在所有情況下都成立（因為根本不成立）。教科書也從未要求學生證明這種複合陳述。

• 多選題的公平性問題：  

本題是「多選」，其他選項(A)–(D)相對容易判斷（標準化後平均=0、標準差=1；等差數列標準化後仍是等差；等比則不一定等比；刪極值標準差通常變小）。  

唯獨(E)需要同時判斷兩個量，而且一個「不必然」，導致學生容易因「標準差變小」而誤選，造成區辨度不佳或得分爭議。

3. 出題建議與改進

• 若要保留(E)，最好拆開成兩個獨立選項（一個只問平均數、一個只問標準差），或改成「標準差會變小，但平均數不一定」。
• 或者明確寫「通常會變小」，避免「都」字帶來的絕對性。
• 這類題目在108課綱下，理想設計應讓學生能用「計算小例子」或「概念直覺」快速判斷，而非需要構造反例。

總結：「嚴謹證明或舉反例很困難」正是核心問題。它讓這題從「概念理解題」變成「需要運氣或額外洞察」的陷阱題，略微降低了試卷的公平性與信度。

第8題：出題表達瑕疵（語言歧義）

以下根據108課綱（D-10-2數據分析：平均數與標準差的意義與比較）、教科書常見題型，以及考試命題原則，詳細說明這個瑕疵的嚴重性。

 1. 題幹文字的具體歧義

題目原文（第8題(3)）：

雜誌報導：OO的實力非常強勁且發揮穩定；XX 是骰子型選手，偶爾很強，但通常不理想。關於這兩人的平均得分與標準差大小，選出各自正確對應的選項。

選項：

(A) 平均較大、標準差較大  

(B) 平均較大、標準差較小  

(C) 平均較小、標準差較大  

(D) 平均較小、標準差較小

• 「各自正確對應的選項」這句話極度模糊：
• 「各自」暗示要分別為QQ和XX找出對應的描述（即QQ對應某一組合、XX對應另一組合）。
• 但選項(A)~(D)每個都只有單一的「平均…、標準差…」組合，完全沒有標示「QQ對應…、XX對應…」或提供兩個選項的配對。
• 因此，學生極易產生兩種常見誤讀（正如您所說）：

1. 誤以為每個選項的前半句對QQ、後半句對XX
   例如把(A)讀成「QQ平均較大 + XX標準差較大」，把(B)讀成「QQ平均較大 + XX標準差較小」…… 
   這是因為中文逗號「、」常被當作並列分隔，而「各自」又強化了「分別對應」的暗示。
2. 誤以為要同時選兩個選項（如B和C），但本題格式沒有標示「多選」。

 2.為什麼這對高一學生特別容易造成困擾？

• 概念上：OO「強勁且穩定」→ 應對應平均較大、標準差較小（即(B)）；XX「股子型、通常不理想」→ 應對應平均較小、標準差較大（即(C)）。  

出題者原本想讓學生先算出四人的平均與標準差，再對應雜誌描述，考「平均數代表穩定實力、標準差代表發揮波動」的統計意義。

• 但文字歧義讓學生即使算對數據，也可能因為「不知道怎麼選」而失分：
• 有的學生會猜「選B」（只看OO）；
• 有的會猜「選C」（只看XX）；
• 有的會以為要選「B和C」但找不到方式；
• 甚至有的會把「平均較大、標準差較大」整個當作「OO的組合」。
• 高一學生正處於「學習描述統計語言」的階段，教科書（如南一版）在類似題目時都會明確寫「甲的平均較大且標準差較小，乙則相反」，避免這種歧義。

 3. 這屬於哪種出題瑕疵？

• 重大表達不精準。
• 影響信度與公平性：計算部分（(1)(2)）很明確，卻在(3)因為文字讓學生「懂統計卻不懂題目在問什麼」，違反「命題應清晰、避免歧義」的原則。
• 與108課綱不符：課綱強調「正確解讀統計結果」，但題幹本身就造成解讀困難，等於把「讀題」變成另一關卡。

 4. 建議修正方式

• 最簡單：改成  

  「OO的平均得分與標準差大小應對應下列何者？XX則對應何者？（多選）」並把選項改為 

(A) OO：平均較大、標準差較大　XX：平均較小、標準差較大

(B) OO：平均較大、標準差較小　XX：平均較小、標準差較大 ……（以此類推）

• 或者直接寫「OO應選____，XX應選____」並讓學生填兩個字母。

總結：這份試卷在「題幹文字精準度」上有系統性不足（Q6定義模糊、Q7(E)過絕對、Q10前提未明示、現在Q8(3)歧義）。這些雖然不影響計算正確性，卻會讓學生在70分鐘內平白浪費時間或因誤讀而失分，降低了試卷的整體品質。

第10題

1. 沒有明確說明統計變量X、Y各自代表什麼（小瑕疵，但不該出現）

• 事實：題目只寫「把月份及月均溫畫在圖表上」「相關係數約為 $-0.27$，迴歸直線為 $y = -0.2x + 21.8$」，表格標的是「月份」「攝氏溫度」。
• 課綱與教科書標準：高一教科書在介紹迴歸直線時，一定會先說「令$x$代表…，$y$代表…」，避免學生混淆。這是基本出題規範。
• 影響：雖然從上下文幾乎可推斷，但嚴格來說屬於「表達不夠精準」。學生若粗心，可能誤以為$x$是溫度、$y$是月份，導致後面解讀全錯。這是可避免的低級失誤。

2. 時序性資料（time series）不宜直接考慮Pearson相關係數與線性迴歸（這是較嚴重的概念瑕疵）

• 統計學原理：Pearson相關係數 r 與線性迴歸的前提假設包括「觀測值相互獨立」（independent observations）。但月份資料是典型的時間序列，具有：
• 自相關（autocorrelation）：上個月溫度會影響下個月。
• 季節性循環（seasonality）：氣溫呈U型（夏天低、冬天高），根本不是線性關係。
• 趨勢（trend）：本資料其實幾乎無長期線性趨勢。
• 108課綱高一程度：課綱只教「二變量量化資料的散佈圖、$r$、迴歸」，沒有提到時間序列的特殊處理（這是大學統計或高三選修才會碰到的）。教科書偶爾會用「年份 vs 某指標」當例，但通常不會特別警示。
• 本題問題：出題者想用 $r \approx -0.27$ 來讓學生發現「相關性不高、線性模型不適合」（這是好的素養題），但因為沒有先提醒「本資料為時間序列，r的解讀需謹慎」，反而讓整題建立在統計上不嚴謹的基礎上。對想培養正確統計素養的考卷來說，是比較嚴重的扣分點。

3. 選項(E) 以高一學生所學，根本無法完全解答（最tricky的選項）

• 選項(E)原文：「此統計若增加樣本數據，例如將月均溫改為日均溫，則會提高相關性。」
• 高一學生能學到的：
• 樣本數越大，統計量的估計越精準（例如信賴區間變窄）。
• $r$ 的公式本身與$n$無關（$r$是關聯強度，不是估計精度）。
• 實際統計上：改成日均溫（365筆資料）後，
• 會引入更多日內波動與短期噪音。
• 季節循環仍然存在，但「日序 vs 日均溫」的線性關聯很可能更弱（$r$ 更接近0），因為資料更明顯地呈現週期性而非直線趨勢。
• 要正確判斷「不會提高相關性」，需要了解「相關係數測量的是線性關聯，而非季節性關聯」——這已超出108課綱高一範圍。
• 結論：(E) 確實是「以高一學生知識無法完全解答」的選項。出題者可能想說「更多資料不一定改善線性模型」，但表達方式讓學生只能靠直覺猜，容易造成爭議或得分不公。

整體Q10出題品質總結

• 原優點仍然存在：題目想考「學生能否看出迴歸直線與實際氣溫走勢不同」「低相關係數的意義」「斜率解讀的陷阱」，這符合108課綱「批判性解讀統計結果」的素養。
• 但新增的缺點：
• 表達不夠精準（X、Y未明示）。
• 統計前提未交代（時序資料的適用性）。
• (E)難度失控。
• 建議修正方式：
• 題目開頭應補：「令x代表月份（1～12），y代表月均溫」。
• 明確寫「本資料為月份與月均溫的時序資料，請判斷以下線性迴歸的解讀是否恰當」。
• (E)可改成更明確的敘述，或換成其他常見誤解（如因果關係）。