=題目=
有兩筆數據 $x$ 和 $y$，資料如下表，求：
(1) $x$ 的平均
(2) $x$ 的變異數
(3) $y$ 的標準差
(4) $x$ 與 $y$ 的相關係數
(5) $y$ 對 $x$ 的迴歸直線方程式。（需以 $y = ax + b$ 表示）
=答案=
(1) $x$ 的平均：$5$
(2) $x$ 的變異數：$\frac{10}{3}$
(3) $y$ 的標準差：$2$
(4) 相關係數：$\frac{2\sqrt{30}}{15}$
(5) 迴歸直線方程式：$y = \frac{4}{5}x + 1$
=詳解=
【題目分析】
本題考查二維數據分析的基本統計量計算。我們需要先計算出 $x$ 與 $y$ 的平均值、離差平方和（$S_{xx}, S_{yy}$）以及離差乘積和（$S_{xy}$），進而求出相關係數與迴歸直線。
【核心概念】
1. 平均數：$\mu_x = \frac{\sum x_i}{n}$
2. 離差平方和：$S_{xx} = \sum (x_i - \mu_x)^2$，$S_{yy} = \sum (y_i - \mu_y)^2$
3. 離差乘積和：$S_{xy} = \sum (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)$
4. 變異數：$\sigma_x^2 = \frac{S_{xx}}{n}$（高中課程通常定義母體變異數除以 $n$）
5. 標準差：$\sigma_y = \sqrt{\frac{S_{yy}}{n}}$
6. 相關係數：$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$
7. 迴歸直線斜率：$a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}$，且直線過 $(\mu_x, \mu_y)$。
【逐步解法】
1. 基本統計量計算：
數據個數 $n = 6$。
$x$ 的總和：$2+4+5+5+6+8 = 30 \Rightarrow$ (1) $x$ 的平均 $\mu_x = \frac{30}{6} = 5$。
$y$ 的總和：$1+6+4+6+7+6 = 30 \Rightarrow y$ 的平均 $\mu_y = \frac{30}{6} = 5$。
2. 計算離差與平方和：
$x$ 的離差 $(x_i - 5)$：$-3, -1, 0, 0, 1, 3$
$S_{xx} = (-3)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2 = 9 + 1 + 0 + 0 + 1 + 9 = 20$
$y$ 的離差 $(y_i - 5)$：$-4, 1, -1, 1, 2, 1$
$S_{yy} = (-4)^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 = 16 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 = 24$
離差乘積和 $S_{xy}$：
$S_{xy} = (-3)(-4) + (-1)(1) + (0)(-1) + (0)(1) + (1)(2) + (3)(1) = 12 - 1 + 0 + 0 + 2 + 3 = 16$
3. 各小題計算：
(2) $x$ 的變異數：$\sigma_x^2 = \frac{S_{xx}}{n} = \frac{20}{6} = \mathbf{\frac{10}{3}}$。
(3) $y$ 的標準差：$\sigma_y = \sqrt{\frac{S_{yy}}{n}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = \mathbf{2}$。
(4) 相關係數 $r$：
$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}} = \frac{16}{\sqrt{20 \times 24}} = \frac{16}{\sqrt{480}} = \frac{16}{4\sqrt{30}} = \frac{4}{\sqrt{30}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{30}}{15}}$。
(5) 迴歸直線方程式：
斜率 $a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$。
通過點 $(\mu_x, \mu_y) = (5, 5)$，代入點斜式：
$y - 5 = \frac{4}{5}(x - 5) \Rightarrow y = \frac{4}{5}x - 4 + 5 \Rightarrow \mathbf{y = \frac{4}{5}x + 1}$。
沒有留言:
張貼留言