國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第6題

=題目=

科學家在培養皿內觀察某種細菌生長，發現第 1 天恰有 100 個細菌，第 2 天恰有 200 個細菌，……，第 9 天恰有 900 個細菌，紀錄顯示在前 9 天內第 $k$ 天恰有 $k \times 100$ 個細菌。請問下列選項中哪個區間的細菌平均成長率最高？

(A) 第 1 到第 3 天

(B) 第 4 到第 6 天

(C) 第 7 到第 9 天

(D) 第 1 到第 9 天

(E) 都一樣

=答案=

(A)

=詳解=

這題的核心概念其實就是：「同樣增加 100 塊，對窮人來說是翻倍，對有錢人來說只是塞牙縫。」

第一步：觀察細菌是怎麼增加的？

題目說第 $k$ 天有 $k \times 100$ 個。

第 1 天：100 個

第 2 天：200 個

第 3 天：300 個

 ...

第 9 天：900 個

我們可以發現，這群細菌每天都「固定增加 100 個」。

第二步：什麼是「成長率」？

成長率看的是「倍數」，也就是「增加的部分佔原本的多少」。

比較 (A)(B)(C)（它們的時間長度都是 2 天）：

(A) 第 1 到第 3 天：從 100 變 300。這是在 2 天內變成了 3 倍。

(B) 第 4 到第 6 天：從 400 變 600。這是在 2 天內變成了 1.5 倍。

(C) 第 7 到第 9 天：從 700 變 900。這是在 2 天內變成了 約 1.28 倍（$9/7$ 倍）。

結論 1：同樣花 2 天，(A) 翻了 3 倍最猛，所以 (A) 的成長率一定比 (B) 和 (C) 高。

第三步：那 (A) 跟 (D) 怎麼比？

(D) 第 1 到第 9 天：這段時間很長（8 天），從 100 變 900，總共變成了 9 倍。

我們可以這樣想：

如果按照 (A) 的速度（每 2 天變 3 倍），那經過 8 天會發生什麼事？

過 2 天：3 倍

再過 2 天：3 $\times$ 3 = 9 倍

再過 2 天：9 $\times$ 3 = 27 倍

再過 2 天：27 $\times$ 3 = 81 倍！

但是 (D) 選項經過 8 天實際才變成 9 倍 而已，代表 (D) 的平均速度遠低於 (A)。

【最終結論】

因為這群細菌每天增加的數量是「固定」的（100 個），所以越早期、基數越小的時候，增加的那 100 個所佔的比例（成長率）就越高。

就像你本來有 100 元，領到 100 元獎金是「成長 100%」；等你財產有 700 元時，領同樣 100 元獎金只成長了「14%」。

所以，最前面的區間 (A) 成長率最高。