=題目=
虛擬實境遊戲《桑格里拉》有一種兔子，遊戲設定每經過一天兔子的數量就會變成 2 倍，然後又固定被蛇吃掉三隻兔子。已知一開始有 4 隻兔子，用 $a_n$ 代表經過 $n$ 天的兔子數量，例如 $a_1 = 5$。
(1) 寫出 $a_n$ 的遞迴關係式。
(2) 經過幾天，會有超過一百隻兔子？
(3) 某次版本更新後，蛇的食量改變了：經過第一天時吃掉 3 隻兔子、經過第二天時吃掉 4 隻兔子、經過第三天時吃掉 5 隻兔子，以此類推。一開始兔子仍為 4 隻，請問經過幾天會恰有一百隻兔子？
=答案=
(1) $a_n = 2a_{n-1} - 3$ ($n \ge 1$, $a_0 = 4$)
(2) 7 天
(3) 96 天
=詳解=
【題目分析】
本題探討的是「遞迴數列」的應用。題目描述了兔子數量的成長（加倍）與外在消耗（蛇吃掉兔子）之間的關係，並要求建立數學模型（遞迴式）、求解一般項（計算天數）以及處理規則變動後的數列。
已知條件：
1. 初始數量 $a_0 = 4$。
2. 基本規律：隔天數量先變為 2 倍，再扣除被吃掉的數量。
3. 情境 (1)(2)：固定扣除 3 隻。
4. 情境 (3)：第 $n$ 天扣除 $(n+2)$ 隻。
【核心概念】
1. 遞迴關係式：描述數列中相鄰項 $a_n$ 與 $a_{n-1}$ 關係的數學式。
2. 遞迴求解 (不動點法)：對於 $a_n = r \cdot a_{n-1} + k$ 形式的遞迴式，可透過移項構造等比數列。
3. 數列觀察法：在規則變動後，先計算前幾項觀察其增量規律，進而推導一般項。
【逐步解法】
(1) 寫出 $a_n$ 的遞迴關係式
根據題目描述，第 $n$ 天的數量 $a_n$ 是由前一天的數量 $a_{n-1}$ 翻倍後再減去 3 隻所得：
關係式：**$a_n = 2a_{n-1} - 3$，$n \ge 1$（已知 $a_0 = 4$）
或寫成：**$a_1 = 5, a_n = 2a_{n-1} - 3$，$n \ge 2$
(2) 經過幾天，會有超過一百隻兔子？
我們先求出 $a_n$ 的一般項：
1. 令 $a_n - x = 2(a_{n-1} - x)$，則 $a_n = 2a_{n-1} - x$。對照原式得 $x = 3$。
2. 構造新數列 $\langle a_n - 3 \rangle$ 為首項 $a_0 - 3 = 4 - 3 = 1$，公比為 2 的等比數列。
3. 因此 $a_n - 3 = 1 \cdot 2^n \implies a_n = 2^n + 3$。
4. 題目要求 $a_n > 100$：
$$2^n + 3 > 100 \implies 2^n > 97$$
5. 計算 2 的次方：$2^6 = 64$，$2^7 = 128$。
6. 當 $n = 7$ 時，$128 > 97$ 成立。
(3) 更新版本後，經過幾天會恰有一百隻兔子？
設新數列為 $b_n$，根據題意，第 $n$ 天吃掉的兔子數量為 $n+2$：
$b_0 = 4$
第一天 $b_1 = 2 \times 4 - 3 = 5$
第二天 $b_2 = 2 \times 5 - 4 = 6$
第三天 $b_3 = 2 \times 6 - 5 = 7$
觀察規律：$b_n = n + 4$。
(驗證：若 $b_{n-1} = (n-1) + 4 = n + 3$，則 $b_n = 2(n+3) - (n+2) = 2n + 6 - n - 2 = n + 4$，規律成立)
題目要求 $b_n = 100$：
$$n + 4 = 100 \implies n = 96$$
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