用 Cauchy 不等式處理幾何不等關係證明題

=題目= 

如圖，直角三角形 $ABC$ 中， $\angle C = 90^{\circ}$ ， $M$ 為 $\overline{BC}$ 中點， $M$ 到斜邊 $\overline{AB}$ 的距離為 $d$ ，試說明 $d \le \frac{1}{3} \overline{AM}$ 。

=詳解=

$(1^{\circ})$ 不失一般性，假設 $\overline{CM} = 1, \overline{AC} = h > 0$，則

$$\begin{align*} &\overline{MB} = 1, \\ &\overline{AM} = \sqrt{ {\overline{CM}}^2 + {\overline{AC}}^2 } = \sqrt{h^2 + 1}, \\ &\overline{AB} = \sqrt{ {CB}^2 + {AC}^2 } = \sqrt{ h^2 + 4 }. \end{align*}$$

$(2^{\circ})$ 對於 $ \Delta ABM $，利用三角形面積公式有

$$ \frac{ \overline{MB} \times \overline{AC} }{2} = \frac{ \overline{AB} \times \overline{EM} }{2}. $$

即

$$ \frac{ 1 \times h }{2} = \frac{ \sqrt{h^2 + 4} \times d }{2}. $$

故

$$ d = \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 4} }. $$

$(3^{\circ})$ 利用 Cauchy 不等式有

$$ \begin{align*} d &= \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 4} }\\ &= \frac{h \sqrt{h^2 + 1}}{ \sqrt{h^2 + 4} \sqrt{h^2 + 1} } \\ &= \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 4} \sqrt{h^2 + 1} } \sqrt{h^2 + 1} \\ &= \frac{h}{ \sqrt{h^2 + 2^2} \sqrt{h^2 + 1^2} } \overline{AM} \\ &=\frac{h}{ \sqrt{h^2 + 2^2} \sqrt{1^2 + h^2} } \overline{AM} \\ &\le \frac{h}{ | h \cdot 1 + 2 \cdot h | } \overline{AM} \\ &= \frac{1}{3} \overline{AM}. \end{align*} $$

（解答終了）

=附記=

本題用國中數學作輔助線的方式也能做，但我覺得不太好想，至少我比較熟悉 Cauchy 不等式，所以我還是用這種半解析的方式來處理。