國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第4題

=題目=

計算 $(1^2 - 1) + (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + \dots + (24^2 - 24)$ 之值。

=答案=

4600

=詳解=

【題目分析】

本題要求計算一個級數的和：$(1^2 - 1) + (2^2 - 2) + (3^2 - 3) + \dots + (24^2 - 24)$。我們可以觀察到每一項都是「一個整數的平方」減去「該整數本身」。為了方便計算，我們可以將所有「平方項」與「一次項」分開重新分組。

【核心概念】

1.  連續整數平方和公式：

    $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

2.  連續整數和公式：

    $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

【逐步解法】

第一步：將原式重新分組

我們可以將原本的式子拆解為兩組數列相減：

$$(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 24^2) - (1 + 2 + 3 + \dots + 24)$$

第二步：計算前 24 項的平方和

根據公式，將 $n=24$ 代入 $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$：

$$1^2 + 2^2 + \dots + 24^2 = \frac{24 \times (24+1) \times (2 \times 24 + 1)}{6}$$

$$= \frac{24 \times 25 \times 49}{6}$$

$$= 4 \times 25 \times 49$$

$$= 100 \times 49 = 4900$$

第三步：計算前 24 項的整數和

根據公式，將 $n=24$ 代入 $\frac{n(n+1)}{2}$：

$$1 + 2 + \dots + 24 = \frac{24 \times (24+1)}{2}$$

$$= \frac{24 \times 25}{2}$$

$$= 12 \times 25 = 300$$

第四步：計算最後的差值

$$4900 - 300 = 4600$$