國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第1題

=題目=

某等差數列首項為 $a_1$，前幾項依序為 $a_1, a_2, 8, a_4, 14, a_6, \dots$，求：

(1) 首項 $a_1$

(2) 公差 $d$

(3) 前 20 項的和 $S_{20}$

=答案=

(1) 首項 $a_1 = \mathbf{2}$

(2) 公差 $d = \mathbf{3}$

(3) 前 20 項和 $S_{20} = \mathbf{610}$

=詳解=

【核心概念】

1. 等差數列一般項公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$。

2. 公差公式：$a_n - a_m = (n-m)d$。

3. 等差級數求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$。

【逐步解法】

1. 求公差 $d$：

   利用 $a_5$ 與 $a_3$ 的關係：

   $$a_5 - a_3 = (5-3)d, \\14 - 8 = 2d \Rightarrow 6 = 2d \Rightarrow \mathbf{d = 3}$$

2. 求首項 $a_1$：

   將 $d=3$ 代入 $a_3$ 的公式中：

   $$a_3 = a_1 + 2d, \\8 = a_1 + 2(3) \Rightarrow 8 = a_1 + 6 \Rightarrow \mathbf{a_1 = 2}$$

3. 求前 20 項和 $S_{20}$：

   代入求和公式，其中 $n=20, a_1=2, d=3$：

   $$S_{20} = \frac{20}{2} [2(2) + (20-1)3], \\S_{20} = 10 [4 + 19 \times 3], S_{20} = 10 [4 + 57] = 10 \times 61 = \mathbf{610}.$$