=題目=
家家、小紗、田仔、阿剛四人參加一場競賽，共八局，每局排序一二三四名計算得分，第一名：$+45$ 分、第二名：$+5$ 分、第三名：$-15$ 分、第四名：$-35$ 分。八局的名次紀錄如下。
(1) 請問小紗平均得分為多少？
(2) 小紗的分數的變異數最接近下列哪個整數？
(A) 900 (B) 1000 (C) 1200 (D) 1400 (E) 1500
(3) 雜誌報導：OO 的實力非常強勁且發揮穩定；XX 是骰子型選手，偶爾很強，但通常不理想。關於這兩人的平均得分與標準差大小，選出各自正確對應的選項。
(A) 平均較大、標準差較大
(B) 平均較大、標準差較小
(C) 平均較小、標準差較大
(D) 平均較小、標準差較小
=答案=
(1) 小紗平均得分為 $7.5$ 分。
(2) 變異數最接近 (A) 900。
(3) OO 對應 (B)；XX 對應 (C)。
=詳解=
【題目分析】
本題旨在考察統計學中的平均數與變異數（或標準差）的計算與應用。
1. 已知條件：
計分方式：第一名 $+45$、第二名 $+5$、第三名 $-15$、第四名 $-35$。
小紗八局的名次為：第二名、第一名、第三名、第三名、第一名、第四名、第一名、第三名。
2. 求解目標：
(1) 小紗的平均得分。
(2) 小紗得分的變異數（求最接近的整數）。
(3) 根據「實力強勁且穩定」與「發揮不理想且不穩定」的描述，選出對應的統計特徵（平均數與標準差的大小）。
【核心概念】
1. 算術平均數 ($\mu$)：資料總和除以資料筆數。
$$\mu = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$
2. 變異數 ($S^2$)：各資料值與平均數之差的平方和，再除以資料筆數。
$$S^2 = \frac{(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \dots + (x_n-\mu)^2}{n}$$
或者使用簡便公式：$$S^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - \mu^2$$
3. 統計意義：
平均數代表整體表現的好壞。
標準差（或變異數）代表表現的穩定程度；標準差越小，發揮越穩定。
【逐步解法】
(1) 計算小紗平均得分
首先列出小紗八局的得分狀況：
第1局：第二名 $\rightarrow +5$
第2局：第一名 $\rightarrow +45$
第3局：第三名 $\rightarrow -15$
第4局：第三名 $\rightarrow -15$
第5局：第一名 $\rightarrow +45$
第6局：第四名 $\rightarrow -35$
第7局：第一名 $\rightarrow +45$
第8局：第三名 $\rightarrow -15$
總分計算：
$5 + 45 + (-15) + (-15) + 45 + (-35) + 45 + (-15) = 60$
平均得分：
$$\mu = \frac{60}{8} = 7.5$$
(2) 計算小紗得分的變異數
我們使用簡便公式 $S^2 = \text{平方的平均} - \text{平均的平方}$。
先計算得分的平方和：
$5^2 = 25$
$45^2 = 2025$（出現 3 次）
$(-15)^2 = 225$（出現 3 次）
$(-35)^2 = 1225$
平方總和 $= 25 + (2025 \times 3) + (225 \times 3) + 1225 = 25 + 6075 + 675 + 1225 = 8000$
平方的平均：
$\frac{8000}{8} = 1000$
變異數 $S^2$：
$$S^2 = 1000 - (7.5)^2 = 1000 - 56.25 = 943.75$$
比對選項：(A) 900, (B) 1000, (C) 1200, (D) 1400。
$943.75$ 距離 $900$ 為 $43.75$，距離 $1000$ 為 $56.25$，因此最接近 (A)。
(3) 選出正確對應的選項
OO (實力強勁且穩定)：
「實力強勁」代表平均得分較高（平均較大）。
「發揮穩定」代表得分波動小（標準差較小）。
對應選項：(B)。
XX (骰子型選手，偶爾強但通常不理想)：
「通常不理想」代表平均表現較差（平均較小）。
「骰子型（波動大）」代表得分不穩定（標準差較大）。
對應選項：(C)。
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