國立竹南高中114學年度第二學期高一數學第一次定期考 詳解 第2題

 =題目=

某等比數列首項為 $b_1$，前幾項依序為 $b_1, 6, b_3, b_4, 162, b_6, \dots$，求：

(1) 首項 $b_1$

(2) 公比 $r$

(3) 前 20 項的和 $S_{20}$（用指數呈現）

=答案=

(1) 首項 $b_1 = \mathbf{2}$

(2) 公比 $r = \mathbf{3}$

(3) 前 20 項和 $S_{20} = \mathbf{3^{20} - 1}$

=詳解=

【核心概念】

1. 等比數列一般項公式：$b_n = b_1 \cdot r^{n-1}$。

2. 比值關係：$\frac{b_n}{b_m} = r^{n-m}$。

3. 等比級數求和公式：$S_n = \frac{b_1(r^n - 1)}{r - 1}$（當 $r \neq 1$）。

【逐步解法】

1. 求公比 $r$：

   利用 $b_5$ 與 $b_2$ 的關係：

   $$\frac{b_5}{b_2} = r^{5-2} = r^3, \\ \frac{162}{6} = r^3 \Rightarrow 27 = r^3 \Rightarrow \mathbf{r = 3}$$

2. 求首項 $b_1$：

   將 $r=3$ 代入 $b_2$ 的公式中：

   $$b_2 = b_1 \cdot r, \\ 6 = b_1 \cdot 3 \Rightarrow \mathbf{b_1 = 2}$$

3. 求前 20 項和 $S_{20}$：

   代入等比級數公式，其中 $n=20, b_1=2, r=3$：

   $$S_{20} = \frac{2(3^{20} - 1)}{3 - 1}, \\ S_{20} = \frac{2(3^{20} - 1)}{2} = \mathbf{3^{20} - 1}$$