印度理工學院聯合入學考試(IIT JEE)，2018，Advanced，Paper 1，三角函數疊合

Question 13 

（原文）

Let $a, b, c$ be three non-zero real numbers such that the equation

$$\sqrt{3} a \cos x + 2b \sin x = c, x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right],$$

has two distinct real roots $\alpha$ and $\beta$ with $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$. Then the value of $\frac{b}{a}$ is ?

（中譯）

設a, b, c皆為非零實數，已知x的方程式

$$\sqrt{3} a \cos x + 2b \sin x = c,$$

在$\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$的範圍中有相異兩解$\alpha, \beta$，且$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$，求$\frac{b}{a}$之值。

Solution

因為$\alpha, \beta$相異，所以可以假設$\alpha < \beta$，於是$-\frac{\pi}{2} \le \alpha < \beta \le \frac{\pi}{2}$，故$\alpha$與$\beta$不可能是同界角。

利用三角函數疊合公式，我們可將題目的方程式化為

$$\sqrt{\left( \sqrt{3}a \right)^2 + \left( 2b \right)^2} \left( \sin x \frac{2b}{\sqrt{\left( \sqrt{3}a \right)^2 + \left( 2b \right)^2}} + \cos x \frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{\left( \sqrt{3}a \right)^2 + \left( 2b \right)^2}} \right) = c,$$

即

$$\sin \left( x + \theta \right) = \frac{c}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}},$$

其中$\theta$滿足$\cos \theta = \frac{2b}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}}, \sin \theta = \frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}}$。將$\alpha, \beta$代回，於是有

$$\sin \left( \alpha + \theta \right) = \sin \left( \beta + \theta \right).$$

因為$\alpha, \beta$不為同位角，所以

$$\alpha + \theta = \pi - (\beta + \theta) + n \cdot 2\pi, n \in \mathbb{Z}.$$

化簡得

$$2 \theta = \frac{2\pi}{3} + n \cdot 2\pi.$$

於是

$$\cos 2\theta = \cos \frac{2\pi}{3} = \frac{-1}{2}, \sin 2\theta = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

利用二倍角公式，得到

$$\left( \frac{2b}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}} \right)^2 = \frac{-1}{2}$$

與

$$2 \cdot \frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}} \cdot \frac{2b}{\sqrt{3a^2 + 4b^2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

我們可得$a, b$同號，且

$$2\left( 4b^2 - 3a^2 \right) = -\left( 3a^2 + 4b^2 \right)$$

與

$$8ab = 3 \left( 3a^2 + 4b^2 \right),$$

得到

$$8ab = 6a^2 - 8b^2.$$

於是

$$(3a + 2b)(a - 2b) = 0.$$

由$a, b$同號得$a = 2b$，於是

$$\frac{b}{a} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}.$$

（解答終了）

附記：

本文承連威翔先生指正部分打字錯誤，特此感謝。