106，指考，數學甲，單選2

==問題==

設$a = \sqrt[3]{10}$。關於$a^5$的範圍， 試選出正確的選項。
(1) 25 $\leq a^5 <$ 30
(2) 30 $\leq a^5 <$ 35
(3) 35 $\leq a^5 <$ 40
(4) 40 $\leq a^5 <$ 45
(5) 45 $\leq a^5 <$ 50

[106，指考，數學甲，單選2]

==解答==

$a = \sqrt[3]{10} \Rightarrow a^3 = 10$。

$8 < a^3 < 27 \Rightarrow 2 < a < 3$。

$a = 2 + d, d \in (0, 1)$。
$$\begin{eqnarray*} a^3 = 10 &\Rightarrow& (2 + d)^3 = 10 \\ &\Rightarrow& 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot d + 3 \cdot 2 \cdot d^2 + d^3 = 10 \\ &\Rightarrow& 8 + 12d + 6d^2 + d^3 = 10 \\ &\Rightarrow& 8+12d \approx 10 \\ &\Rightarrow& d \approx \frac{1}{6} \approx 0.16 \quad [\text{略為高估}] \\ &\Rightarrow& a \approx 2.16 \end{eqnarray*}$$
$a^5 = a^3 \cdot  a^2 = 10 \cdot a^2 \approx 10 \cdot (2.16)^2 = 10 \cdot 4.6656 = 46.656$。

選(5)。

(解答結束)