一道有理函數極限問題

==問題==

若整係數多項式函數$f(x) = x^3 + (2a - 1)x^2 + bx + c$滿足$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{x^3 + 1} = \frac{1}{3}$，且方程式$f(x) = 0$有虛根。試求出a, b, c之值。

==解答==

($1^\circ$)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{x^3 + 1} \cdot (x^3 + 1) = \lim_{x \rightarrow -1} \frac{f(x)}{x^3 + 1} \cdot \lim_{x \rightarrow -1} (x^3 + 1) = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

($2^\circ$)

由於$f(x)$是多項式函數，在實數集$\mathbb{R}$上連續，所以$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x) = f(-1)$，也就是可以直接將極限點代入函數，就得到極限值。因此$f(-1) = 0$，亦即有$(-1)^3 + (2a - 1)(-1)^2 + b(-1) + c = 0$，得$2a - b + c - 2 = 0$。

($3^\circ$)

利用綜合除法，可將$f(x)$展為$x + 1$的多項式（或是：以$-1$為中心的Taylor展開式）：
$$f(x) = 1(x + 1)^3 + (2a - 4)(x + 1)^2 + (-4a + b + 5)(x + 1) + (2a - b + c -2).$$ 其中常數項$2a - b + c - 2$已計算出為零了，所以$f(x)$在$x = -1$的Taylor展開式變為
$$f(x) = 1(x + 1)^3 + (2a - 4)(x + 1)^2 + (-4a + b + 5)(x + 1).$$ 接著左右同除以$x^3 + 1$，得
$$\frac{f(x)}{x^3 + 1} = \frac{(x+1)^3}{x^3 + 1} + \frac{(2a - 4)(x + 1)^2}{x^3 + 1} + \frac{(-4a + b + 5)(x + 1)}{x^3 + 1}.$$ 由於$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$，所以
$$\frac{f(x)}{x^3 + 1} = \frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{(2a - 4)(x + 1)}{x^2 - x + 1} + \frac{-4a + b + 5}{x^2 - x + 1}.$$ 當$x \rightarrow -1$時，上式右端中的$\frac{(x+1)^2}{x^2 - x + 1}$與$\frac{(2a - 4)(x + 1)}{x^2 - x + 1}$皆趨於零，而$\frac{-4a + b + 5}{x^2 - x + 1}$趨近於$\frac{-4a + b + 5}{3}$。所以得到
$$\frac{1}{3} = \frac{-4a + b + 5}{3}.$$ 故$-4a + b + 5 = 1$。

($4^\circ$)

由$\left\{ \begin{eqnarray*} 2a - b + c - 2 = 0 \\ -4a + b + 5 = 1 \end{eqnarray*} \right.$得$b = 4a - 4, c = 2a - 2$，所以可將$f(x)$改寫為
$$f(x) = x^3 + (2a - 1)x^2 + (4a - 4)x + (2a - 2).$$ 又我們已知$f(-1) = 0$，所以$f(x)$必有因式$x + 1$，因此可利用綜合除法將$f(x)$因式分解為
$$f(x) = (x + 1)[x^2 + (2a - 2)x + (2a - 2)].$$ 代數基本定理告訴我們，n次複係數多項方程式$F(x) = 0$必有n個複數根。因為$f(x)$是3次式，所以方程式$f(x) = 0$有3個根。再者，實係數多項方程式若有虛根，則虛根必共軛成對，故根據題目條件「方程式$f(x) = 0$有虛根」可知，方程式$f(x) = 0$僅有1個實根。前頭已計算出$f(-1) = 0$，因此方程式$f(x) = 0$的實根就只有$-1$。從而在$f(x)$的分解式中，因式$x^2 + (2a - 2)x + (2a - 2)$沒有實根，於是判別式必$<0$，得
$$(2a - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a - 2) < 0.$$ 解出$1 < a < 3$。因a是整數，所以$a = 2$，然後$b = 4, c = 2$。