樂透，$n$顆球，取$r$顆球，完全沒有連號/有部分連號

近來為準備機率教材，翻閱了張振華先生所著《機率好好玩》[1]。目前讀到第9章，覺得難度不高，每一章都引用了真實新聞報導來討論機率概念，我覺得相當有趣，希望年底可以把整本書消化完畢，把精華部份寫到講義裡，讓學生在學習機率時，不是只面對虛假的人為情境，而認識到真實世界中處處充滿數學問題，尤其機率與每個人的生活具有相當大的關聯性。

若是要批評這本書(前9章)的缺點，我想在於對部分數學公式解釋的不夠清晰，多數只是點到為止，例如在介紹組合數$C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$時，僅僅給一個例子，太薄弱了。對我這樣的行內人來說沒什麼，但對於一般讀者，可能還是讀完例子仍無法體會該公式的內涵。

在第9章，張振華先生介紹了樂透相關機率的計算，其中「所開獎號中，有連號現象(部分連號/完全連號)的機率」一段，張先生雖然在注釋給出了計算公式$P=1-\frac{C^{n-r+1}_r}{C^n_r}$，但卻說推導繁雜，所以就略去推導過程。

我自2016/10/22的晚上開始思考這個公式的由來，一時沒想出來，隔天上班繼續想，仍然沒有頭緒(題外話，雖然我以教數學為業，不過自身的數學屬性似乎偏向幾何方面，組合學一直以來不算相當拿手)。上網查了查資料，看到黃文璋教授發表在《數學傳播》期刊上的文章〈隨機與密碼〉[2]，其中的例題4也談到此公式，然而也沒給出推導。

到了晚上為高三再興模擬考班檢討模擬考的時候，題目之中有一題：

某個數學測驗有10題是非題，若題目敘述正確則寫O；若敘述錯誤則寫X。小明作答完成後發現他的答案中沒有連續2題出現O，請問小明的答案有多少種可能情況？(可能10題都是X) 

其實本題出自於2011年台北區公立高中數學甲模擬考第一次(http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA569.swf)，非選題第1題。解析是考慮小明寫O的個數來分類討論。例如小明完全沒寫O，這樣是1種。小明只寫1個O，那這樣有10種。但接下來的情況比較困難一點點。當小明寫了2個O，此時不能讓這2個O在一起，所以在這2個O之間必須插入至少1個的X。2個O會分出3段空間(假定寫出來的格式為一橫排，由左而右書寫)，我們要拿8個X去填入這3段空間，而且中間的空間至少要填1個X，不難思考這樣的方法數計算應該利用「重複組合」。我們可以假設(由左而右)第1段空間要填入$x_1$個X，第2段空間要填入$x_2$個X，第3段空間要填入$x_3$個X。於是乎就得到方程式
$$
x_1+x_2+x_3=8
$$
但注意其中$x_2 \geq 1$，所以不能直接套用非負整數解個數公式。我們先塞1個X給$x_2$，於是方程式變成
$$
x_1+x_2'+x_3=7
$$
這下就可以直接套用公式了。這個情況(小明寫了2個O，不連續出現)的方法數有$H^3_7=C^{3+7-1}_7=C^9_7=36$種。至於其他情形，想法是類似的，我在此就不一一細談，只再說一句，該題的答案是144種。答案可參考台中一中退休老師賴瑞楓老師的網站：http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/ans/ans110415.swf

那麼這題跟我們原先談的樂透連號機率有什麼關係呢？事實上，我們原先所討論的題目，若是搬到這題，就變成

某個數學測驗有$n$題是非題，若題目敘述正確則寫O；若敘述錯誤則寫X。小明作答完成後發現他的答案中寫了$r$個O，但沒有連續2題出現O，請問小明的答案有多少種可能情況？

這裡，測驗=樂透，$n$題是非題=$n$顆球，$r$題寫O=選$r$顆球，沒有連續2題出現O=沒有連號。那這樣我們就有機會推出「樂透開獎完全不連號的機率」。

$r$顆球排成一橫排，可以製造出$r+1$個空間，我們拿$n-r$個X填入這$r+1$個空間。假設第1個空間填入$x_1$個X，第2個空間填入$x_2$個X，...，第$r+1$個空間填入$x_{r+1}$個X，那麼就得到方程式：
$$
x_1+x_2+\cdots+x_{r+1}=n-r
$$
但注意因為不連號，所以從第2個空間(第1顆球與第2顆球所夾住的空間)到第$r$個空間(第$r-1$顆球與第$r$顆球所夾住的空間)，每個都要填入至少1個X，因此就有$x_1 \geq 0, x_2 \geq 1, \cdots, x_r \geq 1, x_{r+1} \geq 0$。因此為了能使用非負整數解個數公式，我們便先對$x_2$到$x_r$這$r-1$個變數各個先給1，於是方程式變為
\begin{eqnarray*}
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-r-(r-1)\\
&x_1+x_2'+\cdots+x_r'+x_{r+1}&=n-2r+1
\end{eqnarray*}
其中$x_1 \geq 0, x_2' \geq 0, \cdots, x_r' \geq 0, x_{r+1} \geq 0$，所以利用非負整數解個數公式得到解數$=H^{r+1}_{n-2r+1}=C^{(r+1)+(n-2r+1)-1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{n-2r+1}=C^{n-r+1}_{(n-r+1)-(n-2r+1)}=C^{n-r+1}_{r}$種。

結論是，$n$號選$r$號的樂透，開獎號碼完全不連號的情況共有$C^{n-r+1}_{r}$種；$r$號中有部分號碼連號(包含完全連號)的情況共有$C^n_r-C^{n-r+1}_{r}$種。因此，無論是張振華先生的著作，還是黃文璋教授的文章中的公式，我們都可以推導出來：
$$
P(\text{開獎號碼中有連號})=1-P(\text{開獎號碼完全不連號})=1-\frac{C^{n-r+1}_{r}}{C^n_r}
$$

參考資料：

[1] 張振華，機率好好玩(3版)，2014年，台北：五南
網路書店博客來http://www.books.com.tw/products/0010647152
[2]黃文璋，隨機與密碼，數學傳播，第28卷第2期，pp.1-15
http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d282/28201.pdf
亦可見黃教授在國立高雄大學統計研究所的網頁「追求明牌」
http://www.stat.nuk.edu.tw/prost/lottery/nameplate/nameplate.htm