106，指考，數學甲，單選3

==問題==

試問在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中，$y = 3 \sin x$的函數圖形與$y = 2 \sin 2x$的函數圖形有幾個交點？
(1) 2個交點
(2) 3個交點
(3) 4個交點
(4) 5個交點
(5) 6個交點

[106，指考，數學甲，單選3]

==解答==

本題相當於計算方程式$3 \sin x = 2 \sin 2x$在$0 \leq x \leq 2\pi$的範圍中有多少個根。
\begin{eqnarray*}
3 \sin x &=& 2 \sin 2x \\
3 \sin x &=& 2 \cdot 2 \sin x \cos x \quad [2\text{倍角公式}] \\
3 \sin x &=& 4 \sin x \cos x \\
3 \sin x - 4 \sin x \cos x&=& 0 \\
\sin x (3 - 4 \cos x) &=& 0 \\
\Rightarrow \sin x = 0 \text{或} \cos x = \frac{3}{4}.
\end{eqnarray*}
若$\sin x = 0$，則$x = 0, \pi, 2\pi$。

若$\cos x = \frac{3}{4}$，則$x = \arccos \frac{3}{4}, 2\pi - \arccos \frac{3}{4}$。(註：此地設定反餘弦函數$\arccos : [-1, 1] \rightarrow [0, \pi]$)

方程式在$[0, 2 \pi]$共$5$解所以有$5$個交點，選(4)。

(解答結束)