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2018年3月27日 星期二

單變數函數的導函數的定義與例子

導函數的定義


(a,b)R

x(a,b)fx皆可導,則稱f(a,b)上可導。此時得一函數(映射)
f:(a,b)R,f:xf(x).
此函數稱為f(a,b)上的導函數(derivative)。

導函數的例子


例1. 常數函數的導函數。

cR是一個常數,f1:(,+)R,f1(x)=cx(,+)f1(x)=0f1(,+)上可導,所以f1(,+)的導函數為f1(x)=0

例2. 線型/一次函數的導函數。

m,kR,m0f2:(,+)R,f2(x)=mx+kx(,+)f2(x)=mf2(,+)上可導,所以f2(,+)的導函數為f2(x)=m

例3. 二次函數的導函數。

a,b,cR,a0f3:(,+)R,f3(x)=ax2+bx+cx(,+)f3(x)=2ax+bf3(,+)上可導,所以f3(,+)的導函數為f3(x)=2ax+b

例4. n次方函數的導函數。

nNf4:(,+)R,f4(x)=xnx(,+)f4(x)=nxn1f4(,+)上可導,所以f4(,+)的導函數為f4(x)=nxn1

例5. 倒數函數的導函數。

f5:(,0)(0,+)R,f5(x)=1xx(,0)(0,+)f5(x)=1x2f5(,0)(0,+)上可導,所以f5(,0)(0,+)的導函數為f5(x)=1x2

例6. 平方根函數的導函數。

f6:[0,+)R,f6(x)=xx(0,+)f6(x)=12xf6(0,+)上可導(注意這裡可導的區間是開區間!),所以f6(0,+)的導函數為f6(x)=12x

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