導函數的定義
若∀x∈(a,b),f在x皆可導,則稱f在(a,b)上可導。此時得一函數(映射)
f′:(a,b)→R,f′:x↦f′(x).
此函數稱為f在(a,b)上的導函數(derivative)。
導函數的例子
例1. 常數函數的導函數。
設c∈R是一個常數,f1:(−∞,+∞)→R,f1(x)=c。∀x∈(−∞,+∞)有f′1(x)=0,f1在(−∞,+∞)上可導,所以f1在(−∞,+∞)的導函數為f′1(x)=0。
例2. 線型/一次函數的導函數。
設m,k∈R,m≠0,f2:(−∞,+∞)→R,f2(x)=mx+k。∀x∈(−∞,+∞)有f′2(x)=m,f2在(−∞,+∞)上可導,所以f2在(−∞,+∞)的導函數為f′2(x)=m。
例3. 二次函數的導函數。
設a,b,c∈R,a≠0,f3:(−∞,+∞)→R,f3(x)=ax2+bx+c。∀x∈(−∞,+∞)有f′3(x)=2ax+b,f3在(−∞,+∞)上可導,所以f3在(−∞,+∞)的導函數為f′3(x)=2ax+b。
例4. n次方函數的導函數。
設n∈N,f4:(−∞,+∞)→R,f4(x)=xn。∀x∈(−∞,+∞)有f′4(x)=nxn−1,f4在(−∞,+∞)上可導,所以f4在(−∞,+∞)的導函數為f′4(x)=nxn−1。
例5. 倒數函數的導函數。
設f5:(−∞,0)∪(0,+∞)→R,f5(x)=1x。∀x∈(−∞,0)∪(0,+∞)有f′5(x)=−1x2,f5在(−∞,0)∪(0,+∞)上可導,所以f5在(−∞,0)∪(0,+∞)的導函數為f′5(x)=−1x2。
例6. 平方根函數的導函數。
設f6:[0,+∞)→R,f6(x)=√x。∀x∈(0,+∞)有f′6(x)=12√x,f6在(0,+∞)上可導(注意這裡可導的區間是開區間!),所以f6在(0,+∞)的導函數為f′6(x)=12√x。
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