單變數函數可導的定義與例子

設$(a, b) \subseteq \mathbb{R}$，$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$是一個函數(映射)，$c \in (a, b)$，也就是說$c$為開區間$(a, b)$內部的一個點。

函數$f$在$c$點當然有定義，函數值記為$f(c)$。

導數/可導的定義

若極限$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$存在，則稱函數$f$在$x = c$處「可導(differentiable)」，而極限值記為$f'(c)$，稱為$f$在$c$的導數(derivative)。換句話說，我們可形式地定義導數$f'(c)$為

$$f'(c) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}.$$
其中極限式裡的分式$\frac{f(c+h) - f(c)}{h}$稱為$f$在$c$的牛頓商(Newton quotient)或是差商(difference quotient)。(這裡「形式地」意味著我們只著重上面定義式子所表現的形式，至於右方那個極限式是否有極限並非最優先考慮的事。)

代號的代換

$f$在$x = c$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$存在，導數值$=f'(c)$。

$f$在$x = d$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(d+h) - f(d)}{h}$存在，導數值$=f'(d)$。

$f$在$x = e$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(e+h) - f(e)}{h}$存在，導數值$=f'(e)$。

$f$在$x = x_0$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$存在，導數值$=f'(x_0)$。

$f$在$x = t_1$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t_1+h) - f(t_1)}{h}$存在，導數值$=f'(t_1)$。

$f$在$x = {\text{火星}}$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f({\text{火星}}+h) - f({\text{火星}})}{h}$        存在，導數值$=f'(\text{火星})$。

$F$在$x = x_0$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h}$存在，導數值$=F'(x_0)$。

$g$在$x = x_0$可導$\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x_0+h) - g(x_0)}{h}$存在，導數值$=g'(x_0)$。

為何導數要叫做導數？「導」的涵義為何？

這個問題會另文討論，讀者就先暫時接受這樣算出來的東西稱作「導數」。

例子

例1. 常數函數

設$c \in \mathbb{R}, f_1 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$，$f_1 (x) = c$。

我們稱函數$f_1$是「常數函數(constant function)」，因為$f_1$總是將任何一個$x$對應到固定值$c$。(說文解字：「常」這個字具有「恆定」的意思，所以才用「常」。)

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_1 (x+h) - f_1(x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{c - c}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} 0 \notag \\
&= 0. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們常數函數$f_1 (x) = c$在任何一處都可導，且導數值為$0$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_1' (x) = 0.$$

例2. 線型函數/一次函數(linear function)

設$m, k \in \mathbb{R}, m \neq 0, f_2: (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_2 (x) = mx + k$。

我們稱函數$f_2$為「線型函數」或「一次函數」。(說文解字：「線型」的意思是因為這個函數的圖形畫出來就像是一條直線；「一次」的意思是指自變數$x$的次數為$1$次。注意「線型」與「線性」不大一樣，寫的時候別混淆了。)

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_2 (x+h) - f_2(x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[m(x+h) + k] - (mx + k)}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{mh}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} m \notag \\
&= m. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們線型函數$f_2$在任何一處都可導，且導數值為$m$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_2' (x) = m.$$

例3. 二次函數(quadratic function)

設$a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0, f_3 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_3 (x) = ax^2 + bx + c$。

我們稱函數$f_3$為「二次函數(quadratic function)」。(說文解字：「二次」的意思是指自變數$x$的次數為$2$次。)

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_3 (x+h) - f_3 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[a(x+h)^2 + b(x+h) + c] - (ax^2 + bx + c)}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2axh + ah^2 + bh}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2ax + ah + b)}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} (2ax + ah + b) \notag \\
&= 2ax + a \times 0 + b \notag \\
&= 2ax + b. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們二次函數$f_3 (x) = ax^2 + bx + c$在任何一處都可導，且導數值為$2ax + b$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_3' (x) = 2ax + b.$$

例4. $x$的$n$次方

設$n \in \mathbb{N}, f_4 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_4 (x) = x^n$。

任取$x \in \mathbb{R}$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_4 (x+h) - f_4 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}h^k - x^n}{h} \quad [{\text{二項式定理}}] \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \right] - x^n }{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right]}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right] \notag \\
&= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2} \times 0 + \cdots + 0^{n-1}\notag \\
&= nx^{n-1}. \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_4 (x) = x^n$在任何一處都可導，且導數值為$nx^{n-1}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_4' (x) = nx^{n-1}.$$

例5. $x$分之一

設$f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}$。

任取$x \in (0, +\infty)$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x^2} \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$在$(0, +\infty)$中任何一處都可導，且導數值為$\frac{-1}{x^2}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.$$

再任取$x \in (-\infty, 0)$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\
&=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\
&=  \frac{-1}{x^2} \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$在$(-\infty, 0)$中任何一處都可導，且導數值為$\frac{-1}{x^2}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in (-\infty, 0), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.$$

所以不論$x$是在$(0, +\infty)$還是$(-\infty, 0)$，$f_5 (x) = \frac{1}{x}$都可導，且導數值為$\frac{-1}{x^2}$。換句話說，我們有

$$\forall x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.$$

例6. 根號$x$

設$f_6 : [0, +\infty), f_6 (x) = \sqrt{x}$。

回顧導數的定義，要取導數的點必須在開區間中，所以我們取$x \in (0, +\infty)$，計算導數定義的極限式
\begin{align}
 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_6 (x+h) - f_6 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\color{red}{\sqrt{x+h}^2 - \sqrt{x}^2}} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \notag \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \notag \\
&= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \notag \\
&= \frac{1}{2\sqrt{x}} \notag
\end{align}
以上的計算告訴我們函數$f_6 (x) = \sqrt{x}$在$(0, +\infty)$中任何一處都可導，且導數值為$\frac{1}{2\sqrt{x}}$。換句話說，我們有
$$\forall x \in \mathbb{R}, f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

統整

我們略為統整以上討論的結果：

1. 常數函數$f_1 (x) = c$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_1' (x) = 0$。
2. 一次函數$f_2 (x) = mx + k$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_2' (x) = m$。
3. 二次函數$f_3 (x) = ax^2 + bx + c$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_3' (x) = 2ax$。
4. $n$次方函數$f_4 (x) = x^n$在$\mathbb{R}$上處處有定義，在$\mathbb{R}$上任一點都可導。對於任意$x \in \mathbb{R}$，有$f_4' (x) = nx^{n-1}$。
5. 倒數函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$定義於$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，在其中任一點都可導。對於任意$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，有$f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}$。
6. 平方根函數$f_6 (x) = \sqrt{x}$定義於$[0, +\infty)$，在$(0, +\infty)$上任一點都可導。對於任意$x \in (0, +\infty)$，有$f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

導數的另稱

導數有很多別稱，以下列出這些名稱，以及使用那些名稱的教材或數學家。

1. 流數(fluxion)：牛頓。目前沒人使用。
2. 紀數：熊慶來《高等算學引論》(民國初年清華大學算學系分析教材)。目前沒人使用。
3. 微商：華羅庚《高等數學引論》、鄧東皋《數學分析簡明教程》、龔昇《簡明微積分》、中國科學技術大學高等數學教研室《高等數學導論》。
4. 微分係數：小平邦彥《解析入門》、Hardy《純數學教程(Course of Pure Mathematics)》。

這些名稱的由來將會另文討論。

導數$\neq$微分

請讀者注意一點，絕對不可將「導數」稱作「微分」！

導數$\neq$微分

導數$\neq$微分

導數$\neq$微分

之所以不同的理由有幾個。數學上來說，導數是差商的極限，但是微分直觀來說是「微增量」；幾何來說，導數是切線斜率，微分是切線上的點的高度改變量；物理來說，導數是速度，而微分是位移。

以例5的倒數函數$f_5 (x) = \frac{1}{x}$來說，對於任意$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，其導數為$\frac{-1}{x^2}$。但是不可說「$\frac{1}{x}$的微分是$\frac{-1}{x^2}$」。

微分的詳細介紹將於另文討論。