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2018年3月26日 星期一

單變數函數可導的定義與例子

(a,b)Rf:(a,b)R是一個函數(映射),c(a,b),也就是說c為開區間(a,b)內部的一個點。

函數fc點當然有定義,函數值記為f(c)

導數/可導的定義


若極限lim存在,則稱函數fx = c處「可導(differentiable)」,而極限值記為f'(c),稱為fc的導數(derivative)。換句話說,我們可形式地定義導數f'(c)
f'(c) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}.
其中極限式裡的分式\frac{f(c+h) - f(c)}{h}稱為fc的牛頓商(Newton quotient)或是差商(difference quotient)(這裡「形式地」意味著我們只著重上面定義式子所表現的形式,至於右方那個極限式是否有極限並非最優先考慮的事。)

代號的代換


fx = c可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}存在,導數值=f'(c)

fx = d可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(d+h) - f(d)}{h}存在,導數值=f'(d)

fx = e可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(e+h) - f(e)}{h}存在,導數值=f'(e)

fx = x_0可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}存在,導數值=f'(x_0)

fx = t_1可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t_1+h) - f(t_1)}{h}存在,導數值=f'(t_1)

fx = {\text{火星}}可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f({\text{火星}}+h) - f({\text{火星}})}{h}        存在,導數值=f'(\text{火星})

Fx = x_0可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(x_0+h) - F(x_0)}{h}存在,導數值=F'(x_0)

gx = x_0可導\displaystyle \Leftrightarrow \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x_0+h) - g(x_0)}{h}存在,導數值=g'(x_0)

為何導數要叫做導數?「導」的涵義為何?


這個問題會另文討論,讀者就先暫時接受這樣算出來的東西稱作「導數」。

例子


例1. 常數函數

c \in \mathbb{R}, f_1 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}f_1 (x) = c

我們稱函數f_1是「常數函數(constant function)」,因為f_1總是將任何一個x對應到固定值c。(說文解字:「常」這個字具有「恆定」的意思,所以才用「常」。)

任取x \in \mathbb{R},計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_1 (x+h) - f_1(x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{c - c}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{0}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} 0 \notag \\ &= 0. \notag \end{align}
以上的計算告訴我們常數函數f_1 (x) = c在任何一處都可導,且導數值為0。換句話說,我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_1' (x) = 0.

例2. 線型函數/一次函數(linear function)

m, k \in \mathbb{R}, m \neq 0, f_2: (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_2 (x) = mx + k

我們稱函數f_2為「線型函數」或「一次函數」。(說文解字:「線型」的意思是因為這個函數的圖形畫出來就像是一條直線;「一次」的意思是指自變數x的次數為1次。注意「線型」與「線性」不大一樣,寫的時候別混淆了。)

任取x \in \mathbb{R},計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_2 (x+h) - f_2(x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[m(x+h) + k] - (mx + k)}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{mh}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} m \notag \\ &= m. \notag \end{align}
以上的計算告訴我們線型函數f_2在任何一處都可導,且導數值為m。換句話說,我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_2' (x) = m.

例3. 二次函數(quadratic function)

a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0, f_3 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_3 (x) = ax^2 + bx + c

我們稱函數f_3為「二次函數(quadratic function)」。(說文解字:「二次」的意思是指自變數x的次數為2次。)

任取x \in \mathbb{R},計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_3 (x+h) - f_3 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[a(x+h)^2 + b(x+h) + c] - (ax^2 + bx + c)}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2axh + ah^2 + bh}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(2ax + ah + b)}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} (2ax + ah + b) \notag \\ &= 2ax + a \times 0 + b \notag \\ &= 2ax + b. \notag \end{align}
以上的計算告訴我們二次函數f_3 (x) = ax^2 + bx + c在任何一處都可導,且導數值為2ax + b。換句話說,我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_3' (x) = 2ax + b.

例4. xn次方

n \in \mathbb{N}, f_4 : (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_4 (x) = x^n

任取x \in \mathbb{R},計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_4 (x+h) - f_4 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}h^k - x^n}{h} \quad [{\text{二項式定理}}] \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \right] - x^n }{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right]}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right] \notag \\ &= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2} \times 0 + \cdots + 0^{n-1}\notag \\ &= nx^{n-1}. \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_4 (x) = x^n在任何一處都可導,且導數值為nx^{n-1}。換句話說,我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_4' (x) = nx^{n-1}.

例5. x分之一

f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}

任取x \in (0, +\infty),計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\ &=  \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\ &=  \frac{-1}{x^2} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_5 (x) = \frac{1}{x}(0, +\infty)中任何一處都可導,且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說,我們有
\forall x \in (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.

再任取x \in (-\infty, 0),計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\ &=  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\ &=  \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\ &=  \frac{-1}{x^2} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_5 (x) = \frac{1}{x}(-\infty, 0)中任何一處都可導,且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說,我們有
\forall x \in (-\infty, 0), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.

所以不論x是在(0, +\infty)還是(-\infty, 0)f_5 (x) = \frac{1}{x}都可導,且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說,我們有
\forall x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.

例6. 根號x

f_6 : [0, +\infty), f_6 (x) = \sqrt{x}

回顧導數的定義,要取導數的點必須在開區間中,所以我們取x \in (0, +\infty),計算導數定義的極限式
\begin{align}  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_6 (x+h) - f_6 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\color{red}{\sqrt{x+h}^2 - \sqrt{x}^2}} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \notag \\ &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \notag \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_6 (x) = \sqrt{x}(0, +\infty)中任何一處都可導,且導數值為\frac{1}{2\sqrt{x}}。換句話說,我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

統整


我們略為統整以上討論的結果:

  1. 常數函數f_1 (x) = c\mathbb{R}上處處有定義,在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R},有f_1' (x) = 0
  2. 一次函數f_2 (x) = mx + k\mathbb{R}上處處有定義,在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R},有f_2' (x) = m
  3. 二次函數f_3 (x) = ax^2 + bx + c\mathbb{R}上處處有定義,在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R},有f_3' (x) = 2ax
  4. n次方函數f_4 (x) = x^n\mathbb{R}上處處有定義,在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R},有f_4' (x) = nx^{n-1}
  5. 倒數函數f_5 (x) = \frac{1}{x}定義於(-\infty, 0) \cup (0, +\infty),在其中任一點都可導。對於任意x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty),有f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}
  6. 平方根函數f_6 (x) = \sqrt{x}定義於[0, +\infty),在(0, +\infty)上任一點都可導。對於任意x \in (0, +\infty),有f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

導數的另稱


導數有很多別稱,以下列出這些名稱,以及使用那些名稱的教材或數學家。
  1. 流數(fluxion):牛頓。目前沒人使用。
  2. 紀數:熊慶來《高等算學引論》(民國初年清華大學算學系分析教材)。目前沒人使用。
  3. 微商:華羅庚《高等數學引論》、鄧東皋《數學分析簡明教程》、龔昇《簡明微積分》、中國科學技術大學高等數學教研室《高等數學導論》。
  4. 微分係數:小平邦彥《解析入門》、Hardy《純數學教程(Course of Pure Mathematics)》。
這些名稱的由來將會另文討論。

導數\neq微分


請讀者注意一點,絕對不可將「導數」稱作「微分」!
導數\neq微分
導數\neq微分
導數\neq微分
之所以不同的理由有幾個。數學上來說,導數是差商的極限,但是微分直觀來說是「微增量」;幾何來說,導數是切線斜率,微分是切線上的點的高度改變量;物理來說,導數是速度,而微分是位移。

例5的倒數函數f_5 (x) = \frac{1}{x}來說,對於任意x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty),其導數為\frac{-1}{x^2}。但是不可說「\frac{1}{x}的微分是\frac{-1}{x^2}」。

微分的詳細介紹將於另文討論。

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