函數f在c點當然有定義，函數值記為f(c)。
導數/可導的定義
若極限limh→0f(c+h)−f(c)h存在，則稱函數f在x=c處「可導(differentiable)」，而極限值記為f′(c)，稱為f在c的導數(derivative)。換句話說，我們可形式地定義導數f′(c)為
f′(c)=limh→0f(c+h)−f(c)h.
其中極限式裡的分式f(c+h)−f(c)h稱為f在c的牛頓商(Newton quotient)或是差商(difference quotient)。(這裡「形式地」意味著我們只著重上面定義式子所表現的形式，至於右方那個極限式是否有極限並非最優先考慮的事。)
其中極限式裡的分式f(c+h)−f(c)h稱為f在c的牛頓商(Newton quotient)或是差商(difference quotient)。(這裡「形式地」意味著我們只著重上面定義式子所表現的形式，至於右方那個極限式是否有極限並非最優先考慮的事。)
代號的代換
f在x=c可導⇔limh→0f(c+h)−f(c)h存在，導數值=f′(c)。
f在x=d可導⇔limh→0f(d+h)−f(d)h存在，導數值=f′(d)。
f在x=e可導⇔limh→0f(e+h)−f(e)h存在，導數值=f′(e)。
f在x=x0可導⇔limh→0f(x0+h)−f(x0)h存在，導數值=f′(x0)。
f在x=t1可導⇔limh→0f(t1+h)−f(t1)h存在，導數值=f′(t1)。
f在x=火星可導⇔limh→0f(火星+h)−f(火星)h 存在，導數值=f′(火星)。
F在x=x0可導⇔limh→0F(x0+h)−F(x0)h存在，導數值=F′(x0)。
g在x=x0可導⇔limh→0g(x0+h)−g(x0)h存在，導數值=g′(x0)。
為何導數要叫做導數？「導」的涵義為何？
這個問題會另文討論，讀者就先暫時接受這樣算出來的東西稱作「導數」。
例子
例1. 常數函數
設c∈R,f1:(−∞,+∞)→R，f1(x)=c。
我們稱函數f1是「常數函數(constant function)」，因為f1總是將任何一個x對應到固定值c。(說文解字：「常」這個字具有「恆定」的意思，所以才用「常」。)
任取x∈R，計算導數定義的極限式
limh→0f1(x+h)−f1(x)h=limh→0c−ch=limh→00h=limh→00=0.
以上的計算告訴我們常數函數f1(x)=c在任何一處都可導，且導數值為0。換句話說，我們有
∀x∈R,f′1(x)=0.
例2. 線型函數/一次函數(linear function)
設m,k∈R,m≠0,f2:(−∞,+∞)→R,f2(x)=mx+k。
我們稱函數f2為「線型函數」或「一次函數」。(說文解字：「線型」的意思是因為這個函數的圖形畫出來就像是一條直線；「一次」的意思是指自變數x的次數為1次。注意「線型」與「線性」不大一樣，寫的時候別混淆了。)
任取x∈R，計算導數定義的極限式
limh→0f2(x+h)−f2(x)h=limh→0[m(x+h)+k]−(mx+k)h=limh→0mhh=limh→0m=m.
以上的計算告訴我們線型函數f2在任何一處都可導，且導數值為m。換句話說，我們有
∀x∈R,f′2(x)=m.
例3. 二次函數(quadratic function)
設a,b,c∈R,a≠0,f3:(−∞,+∞)→R,f3(x)=ax2+bx+c。
我們稱函數f3為「二次函數(quadratic function)」。(說文解字：「二次」的意思是指自變數x的次數為2次。)
任取x∈R，計算導數定義的極限式
limh→0f3(x+h)−f3(x)h=limh→0[a(x+h)2+b(x+h)+c]−(ax2+bx+c)h=limh→0ax2+2axh+ah2+bx+bh+c−ax2−bx−ch=limh→02axh+ah2+bhh=limh→0h(2ax+ah+b)h=limh→0(2ax+ah+b)=2ax+a×0+b=2ax+b.
以上的計算告訴我們二次函數f3(x)=ax2+bx+c在任何一處都可導，且導數值為2ax+b。換句話說，我們有
∀x∈R,f′3(x)=2ax+b.
例4. x的n次方
設n∈N,f4:(−∞,+∞)→R,f4(x)=xn。
任取x∈R，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_4 (x+h) - f_4 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}h^k - x^n}{h} \quad [{\text{二項式定理}}] \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \right] - x^n }{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right]}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right] \notag \\ &= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2} \times 0 + \cdots + 0^{n-1}\notag \\ &= nx^{n-1}. \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_4 (x) = x^n在任何一處都可導，且導數值為nx^{n-1}。換句話說，我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_4' (x) = nx^{n-1}.
例5. x分之一
設f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}。
任取x \in (0, +\infty)，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\ &= \frac{-1}{x^2} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_5 (x) = \frac{1}{x}在(0, +\infty)中任何一處都可導，且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說，我們有
\forall x \in (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.
再任取x \in (-\infty, 0)，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\ &= \frac{-1}{x^2} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_5 (x) = \frac{1}{x}在(-\infty, 0)中任何一處都可導，且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說，我們有
\forall x \in (-\infty, 0), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.
例6. 根號x
設f_6 : [0, +\infty), f_6 (x) = \sqrt{x}。
回顧導數的定義，要取導數的點必須在開區間中，所以我們取x \in (0, +\infty)，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_6 (x+h) - f_6 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\color{red}{\sqrt{x+h}^2 - \sqrt{x}^2}} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \notag \\ &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \notag \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_6 (x) = \sqrt{x}在(0, +\infty)中任何一處都可導，且導數值為\frac{1}{2\sqrt{x}}。換句話說，我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
我們略為統整以上討論的結果：
limh→0f1(x+h)−f1(x)h=limh→0c−ch=limh→00h=limh→00=0.
以上的計算告訴我們常數函數f1(x)=c在任何一處都可導，且導數值為0。換句話說，我們有
∀x∈R,f′1(x)=0.
例2. 線型函數/一次函數(linear function)
設m,k∈R,m≠0,f2:(−∞,+∞)→R,f2(x)=mx+k。
我們稱函數f2為「線型函數」或「一次函數」。(說文解字：「線型」的意思是因為這個函數的圖形畫出來就像是一條直線；「一次」的意思是指自變數x的次數為1次。注意「線型」與「線性」不大一樣，寫的時候別混淆了。)
任取x∈R，計算導數定義的極限式
limh→0f2(x+h)−f2(x)h=limh→0[m(x+h)+k]−(mx+k)h=limh→0mhh=limh→0m=m.
以上的計算告訴我們線型函數f2在任何一處都可導，且導數值為m。換句話說，我們有
∀x∈R,f′2(x)=m.
設a,b,c∈R,a≠0,f3:(−∞,+∞)→R,f3(x)=ax2+bx+c。
我們稱函數f3為「二次函數(quadratic function)」。(說文解字：「二次」的意思是指自變數x的次數為2次。)
任取x∈R，計算導數定義的極限式
limh→0f3(x+h)−f3(x)h=limh→0[a(x+h)2+b(x+h)+c]−(ax2+bx+c)h=limh→0ax2+2axh+ah2+bx+bh+c−ax2−bx−ch=limh→02axh+ah2+bhh=limh→0h(2ax+ah+b)h=limh→0(2ax+ah+b)=2ax+a×0+b=2ax+b.
以上的計算告訴我們二次函數f3(x)=ax2+bx+c在任何一處都可導，且導數值為2ax+b。換句話說，我們有
∀x∈R,f′3(x)=2ax+b.
設n∈N,f4:(−∞,+∞)→R,f4(x)=xn。
任取x∈R，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_4 (x+h) - f_4 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}h^k - x^n}{h} \quad [{\text{二項式定理}}] \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left[ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \right] - x^n }{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right]}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right] \notag \\ &= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2} \times 0 + \cdots + 0^{n-1}\notag \\ &= nx^{n-1}. \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_4 (x) = x^n在任何一處都可導，且導數值為nx^{n-1}。換句話說，我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_4' (x) = nx^{n-1}.
設f_5 : (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f_5 (x) = \frac{1}{x}。
任取x \in (0, +\infty)，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\ &= \frac{-1}{x^2} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_5 (x) = \frac{1}{x}在(0, +\infty)中任何一處都可導，且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說，我們有
\forall x \in (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.
再任取x \in (-\infty, 0)，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_5 (x+h) - f_5 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right) \cdot (x+h)x}{h \cdot (x+h)x} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x - (x+h)}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-h}{hx(x+h)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)} \notag \\ &= \frac{-1}{x(x+0)} \notag \\ &= \frac{-1}{x^2} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_5 (x) = \frac{1}{x}在(-\infty, 0)中任何一處都可導，且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說，我們有
\forall x \in (-\infty, 0), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.
所以不論x是在(0, +\infty)還是(-\infty, 0)，f_5 (x) = \frac{1}{x}都可導，且導數值為\frac{-1}{x^2}。換句話說，我們有
\forall x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty), f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}.設f_6 : [0, +\infty), f_6 (x) = \sqrt{x}。
回顧導數的定義，要取導數的點必須在開區間中，所以我們取x \in (0, +\infty)，計算導數定義的極限式
\begin{align} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f_6 (x+h) - f_6 (x)}{h} &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\color{red}{\sqrt{x+h}^2 - \sqrt{x}^2}} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x+h} - \sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \right)} \notag \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \notag \\ &= \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}} \notag \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \notag \end{align}
以上的計算告訴我們函數f_6 (x) = \sqrt{x}在(0, +\infty)中任何一處都可導，且導數值為\frac{1}{2\sqrt{x}}。換句話說，我們有
\forall x \in \mathbb{R}, f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
統整
我們略為統整以上討論的結果：
- 常數函數f_1 (x) = c在\mathbb{R}上處處有定義，在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R}，有f_1' (x) = 0。
- 一次函數f_2 (x) = mx + k在\mathbb{R}上處處有定義，在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R}，有f_2' (x) = m。
- 二次函數f_3 (x) = ax^2 + bx + c在\mathbb{R}上處處有定義，在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R}，有f_3' (x) = 2ax。
- n次方函數f_4 (x) = x^n在\mathbb{R}上處處有定義，在\mathbb{R}上任一點都可導。對於任意x \in \mathbb{R}，有f_4' (x) = nx^{n-1}。
- 倒數函數f_5 (x) = \frac{1}{x}定義於(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)，在其中任一點都可導。對於任意x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)，有f_5' (x) = \frac{-1}{x^2}。
- 平方根函數f_6 (x) = \sqrt{x}定義於[0, +\infty)，在(0, +\infty)上任一點都可導。對於任意x \in (0, +\infty)，有f_6' (x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}。
導數的另稱
導數有很多別稱，以下列出這些名稱，以及使用那些名稱的教材或數學家。
- 流數(fluxion)：牛頓。目前沒人使用。
- 紀數：熊慶來《高等算學引論》(民國初年清華大學算學系分析教材)。目前沒人使用。
- 微商：華羅庚《高等數學引論》、鄧東皋《數學分析簡明教程》、龔昇《簡明微積分》、中國科學技術大學高等數學教研室《高等數學導論》。
- 微分係數：小平邦彥《解析入門》、Hardy《純數學教程(Course of Pure Mathematics)》。
這些名稱的由來將會另文討論。
導數\neq微分
導數\neq微分
導數\neq微分
導數\neq微分
之所以不同的理由有幾個。數學上來說，導數是差商的極限，但是微分直觀來說是「微增量」；幾何來說，導數是切線斜率，微分是切線上的點的高度改變量；物理來說，導數是速度，而微分是位移。
以例5的倒數函數f_5 (x) = \frac{1}{x}來說，對於任意x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)，其導數為\frac{-1}{x^2}。但是不可說「\frac{1}{x}的微分是\frac{-1}{x^2}」。
微分的詳細介紹將於另文討論。
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