單變數函數可導必連續

==定理==(可導必連續)

設$(a, b) \subseteq \mathbb{R}, f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}, c \in (a, b)$。

若$f$在$c$可導，則$f$在$c$連續。

==證明==

$f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$且$c \in (a, b) \Rightarrow f$在$c$有定義，函數值為$f(c)$。

$f$在$c$可導$\Rightarrow \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$存在，此極限值即為$f$在$c$的導數$f'(c)$。

注意$\lim \limits_{h \rightarrow 0} h = 0$且$\lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c) = f(c)$。

根據極限論的四則運算，我們有
\begin{align}
\lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c+h)
&= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \times h + f(c) \right] \notag \\
&= \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \right] \times \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \right] + \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c) \right] \notag \\
&= f'(c) \times 0 + f(c) \notag \\
&= f(c). \notag
\end{align}
考慮代換$x = c+h$，則$h = x - c$，而$h \rightarrow 0$變為$x - c \rightarrow 0$，也就有$x \rightarrow c$。所以上面推導所得的
$$\lim_{h \rightarrow 0} f(c+h) = f(c)$$
可改寫為
$$\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c).$$
換句話說，我們推得「極限值等於函數值」，這意味著$f$在$c$連續。

(證明終了)

==注意==

這個定理告訴我們「可導必連續」，但反之未必成立，亦即「連續不一定可導」。

例. 絕對值函數$f: (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = |x|$，$f$在$(-\infty, +\infty)$上連續，但在$0$不可導。