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2018年3月27日 星期二

單變數函數可導必連續

==定理==(可導必連續)


(a,b)R,f:(a,b)R,c(a,b)

fc可導,則fc連續。

==證明==


f:(a,b)Rc(a,b)fc有定義,函數值為f(c)

fc可導limh0f(c+h)f(c)h存在,此極限值即為fc的導數f(c)

注意limh0h=0limh0f(c)=f(c)

根據極限論的四則運算,我們有
limh0f(c+h)=limh0[f(c+h)f(c)h×h+f(c)]=[limh0f(c+h)f(c)h]×[limh0h]+[limh0f(c)]=f(c)×0+f(c)=f(c).
考慮代換x=c+h,則h=xc,而h0變為xc0,也就有xc。所以上面推導所得的
limh0f(c+h)=f(c)
可改寫為
limxcf(x)=f(c).
換句話說,我們推得「極限值等於函數值」,這意味著fc連續。
(證明終了)

==注意==


這個定理告訴我們「可導必連續」,但反之未必成立,亦即「連續不一定可導」。

. 絕對值函數f:(,+)R,f(x)=|x|f(,+)上連續,但在0不可導。

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