==定理==(可導必連續)
設(a,b)⊆R,f:(a,b)→R,c∈(a,b)。
若f在c可導,則f在c連續。
==證明==
f:(a,b)→R且c∈(a,b)⇒f在c有定義,函數值為f(c)。
f在c可導⇒lim存在,此極限值即為f在c的導數f'(c)。
注意\lim \limits_{h \rightarrow 0} h = 0且\lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c) = f(c)。
根據極限論的四則運算,我們有
\begin{align} \lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c+h) &= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \left[ \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \times h + f(c) \right] \notag \\ &= \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \right] \times \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} h \right] + \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} f(c) \right] \notag \\ &= f'(c) \times 0 + f(c) \notag \\ &= f(c). \notag \end{align}
考慮代換x = c+h,則h = x - c,而h \rightarrow 0變為x - c \rightarrow 0,也就有x \rightarrow c。所以上面推導所得的
\lim_{h \rightarrow 0} f(c+h) = f(c)
可改寫為
\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c).
換句話說,我們推得「極限值等於函數值」,這意味著f在c連續。
(證明終了)
==注意==
這個定理告訴我們「可導必連續」,但反之未必成立,亦即「連續不一定可導」。
例. 絕對值函數f: (-\infty, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = |x|,f在(-\infty, +\infty)上連續,但在0不可導。
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