==定理==(可導必連續)
設(a,b)⊆R,f:(a,b)→R,c∈(a,b)。
若f在c可導,則f在c連續。
==證明==
f:(a,b)→R且c∈(a,b)⇒f在c有定義,函數值為f(c)。
f在c可導⇒limh→0f(c+h)−f(c)h存在,此極限值即為f在c的導數f′(c)。
注意limh→0h=0且limh→0f(c)=f(c)。
根據極限論的四則運算,我們有
limh→0f(c+h)=limh→0[f(c+h)−f(c)h×h+f(c)]=[limh→0f(c+h)−f(c)h]×[limh→0h]+[limh→0f(c)]=f′(c)×0+f(c)=f(c).
考慮代換x=c+h,則h=x−c,而h→0變為x−c→0,也就有x→c。所以上面推導所得的
limh→0f(c+h)=f(c)
可改寫為
limx→cf(x)=f(c).
換句話說,我們推得「極限值等於函數值」,這意味著f在c連續。
(證明終了)
==注意==
這個定理告訴我們「可導必連續」,但反之未必成立,亦即「連續不一定可導」。
例. 絕對值函數f:(−∞,+∞)→R,f(x)=|x|,f在(−∞,+∞)上連續,但在0不可導。
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