一道式的運算題目

==題目== 

若三個非零實數$a, b, c$滿足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，則

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$$

的值為何？

==解答==

本題的兩個約束條件$a+b+c=2$與$a^2+b^2+c^2=2$分別代表三維空間中的平面與球面，不過幾何意象對於此題的求解可稱毫無幫助，所以不該朝幾何方向思考。

事實上滿足兩約束條件的集合在空間中是一個圓，不容易參數化，然而所求式子基本上肯定是個定值（不帶參數），所以我們必須採用代數手段，才能解出具體的數值。

說到這裡，其實我們可以採用偷吃步，想辦法湊出三個數$a, b, c$來滿足約束條件，然後代入所求式子，得到的答案必然是滿足所有情況的答案，也就是用特例去矇分數。

不過我自己既然已經用合法的手段算出答案，那瞎矇胡湊的工作就留給讀者，我實在懶得思考，不願花太多心力在這種無聊的事上頭。（我完整解出這道問題當然有資格這樣說）

現在開始講我的正經解法。

再繼續觀察所要求值的式子，肯定是知道$(1-a)$與$bc$、$(1-b)$與$ca$、$(1-c)$與$ab$的比例後，才有辦法算出來。不太可能是這幾個分數通分化簡後得到一個漂亮的數字，因為這幾個分母的係數感覺帶有隨意性。

要找出$(1-a)$與$bc$的關係，我們從$a+b+c=2$著手。

$$\begin{align*} a+b+c=2 &\Rightarrow b+c = 2-a \\ &\Rightarrow (b+c)^2 = (2-a)^2 \quad\quad  [平方是為了製造bc] \\ & \Rightarrow b^2+2bc+c^2 = 4-4a+a^2 \\ & \Rightarrow (2-a^2)+2bc = 4-4a+a^2  \\ & \Rightarrow bc = 1-2a+a^2 \\ & \Rightarrow bc = (1-a)^2 \quad\quad [大功告成]\end{align*}$$

其他的兩項也是照樣辦理，可得

$$ca = (1 - b)^2 \quad 與 \quad ab = (1 - c)^2.$$

因此所求

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}.$$

（解答終了）

==出處==

好小子，勾結境外勢力來挑戰為師😀

題目

「金面佛」苗人鳳（1984年，《新飛狐外傳》，邵氏）