原題目如下
若三個非零實數a,b,c滿足a+b+c=a2+b2+c2=2,則
(1−a)2bc+(1−b)22ca+(1−c)23ab
的值為何?
原解答請見我2022年9月16日的文章〈一道式的運算題目〉 。類似的題目也可參考我2021年1月10日的文章〈一道三變數的受約束極值問題〉。
以下是本題的幾何解答。
為敘述方便,將原題目的a,b,c依序替換為x,y,z。如2022年9月16日文章所言,兩個約束條件x+y+z=2與x2+y2+z2=2分別是三維空間中的平面與球,記為E與S。聯立考慮則為一個空間中的圓,設其圓心為K、半徑為R。
我們可以取平面E的法向量為→n=(1,1,1)。而d(O,E)=|0+0+0−2|√12+12+12=2√3=23√3。由於|→n|=√12+12+12=√3,因此有→OK=23→n=(23,23,23),故K之座標為(23,23,23)。
由於球面S的半徑為√2,而¯OK=d(O,E)=23√3,因此由商高定理有R=√(√2)2−(23√3)2=√63。
現在我們要取一個與法向量→n垂直的向量,從而這向量可經過適當的平移而完全落在平面E上。不難由內積的計算可取向量→a=(1,0,−1),其長度為√2。接著再取→b=→n×→a=(−1,2,−1)。從而→n,→a,→b構成空間中的一組正交基。
接著我們重新調整向量→a與→b的長度,使其長度恰好是R=√63。取向量→p=√33→a=(√33,0,−√33),然後→q=13→b=(−13,23,−13)。
此時圓K之圓周上任一點P的座標均可表示為
P=K+cosθ→p+sinθ→q,θ∈[0,2π].
具體寫出其每個座標分量為
{x=23+√33cosθ−13sinθy=23+23sinθz=23−√33cosθ−13sinθ,
將之代入所要計算的式子(1−a)2bc+(1−b)22ca+(1−c)23ab進行化簡,即可求出結果為116。
參考資料
[1] 〈Re: [幾何] 三維空間的圓〉https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1295717959.A.C88.html
[2] 一道三變數的受約束極值問題https://cosmicmathschool.blogspot.com/2021/01/blog-post.html
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