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2022年10月6日 星期四

2022年9月16日文章〈一道式的運算題目〉的幾何另解

原題目如下

若三個非零實數a,b,c滿足a+b+c=a2+b2+c2=2,則

(1a)2bc+(1b)22ca+(1c)23ab

的值為何?

原解答請見我2022年9月16日的文章〈一道式的運算題目〉 。類似的題目也可參考我2021年1月10日的文章〈一道三變數的受約束極值問題〉

以下是本題的幾何解答。

為敘述方便,將原題目的a,b,c依序替換為x,y,z。如2022年9月16日文章所言,兩個約束條件x+y+z=2x2+y2+z2=2分別是三維空間中的平面與球,記為ES。聯立考慮則為一個空間中的圓,設其圓心為K、半徑為R

我們可以取平面E的法向量為n=(1,1,1)。而d(O,E)=|0+0+02|12+12+12=23=233。由於|n|=12+12+12=3,因此有OK=23n=(23,23,23),故K之座標為(23,23,23)

由於球面S的半徑為2,而¯OK=d(O,E)=233,因此由商高定理有R=(2)2(233)2=63

現在我們要取一個與法向量n垂直的向量,從而這向量可經過適當的平移而完全落在平面E上。不難由內積的計算可取向量a=(1,0,1),其長度為2。接著再取b=n×a=(1,2,1)。從而n,a,b構成空間中的一組正交基。

接著我們重新調整向量ab的長度,使其長度恰好是R=63。取向量p=33a=(33,0,33),然後q=13b=(13,23,13)

此時圓K之圓周上任一點P的座標均可表示為

P=K+cosθp+sinθq,θ[0,2π].

具體寫出其每個座標分量為

{x=23+33cosθ13sinθy=23+23sinθz=2333cosθ13sinθ,

將之代入所要計算的式子(1a)2bc+(1b)22ca+(1c)23ab進行化簡,即可求出結果為116

參考資料

[1] 〈Re: [幾何] 三維空間的圓〉https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1295717959.A.C88.html

[2] 一道三變數的受約束極值問題https://cosmicmathschool.blogspot.com/2021/01/blog-post.html

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