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2018年3月16日 星期五

任意三角形任二邊之中垂線必相交於一點

摘要

本文使用Serge Lang所著Geometry一書中的公設與定理來推導出「三角形任二邊之中垂線必相交於一點」,從而為外心的存在性(Theorem 5-2, p.128)建立論證基礎。

1. 要使用的定義、公設與定理

  • 直線公設LIN (p.1):平面上兩相異點決定唯一直線。
  • 直線L與直線K相交的部分以LK表示。
  • 兩直線平行的定義 (p.2):兩直線互相平行兩線重合或兩線不相交。
  • 平行線基本公設,PAR1 (p.3):若兩直線不平行,則兩直線必相交於一點。
  • 線段與直線相垂直的定義 (p.36):某線段與某直線垂直該線段所在直線與另一直線相垂直。
  • 垂線基本公設,PERP2 (p.37):若兩直線互相平行,而第三條直線(截線)與前兩線其中一條相垂直,則截線與另一直線亦垂直。
  • Theorem 1-2 (p.37):若兩直線同時與第三條直線(截線)垂直,則原來兩直線互相平行。

2. 定理及其論證


定理任意三角形任二邊之中垂線必相交於一點。

[證]:假定所討論之三角形為ABC,其中¯AB的中垂線為L1¯BC的中垂線為L2,從而LABL1LBCL2

L1L2的關係只有3種可能,且一定有1種會成立:
(i) L1=L2; 
(ii) L1L2,且L1L2
(iii) L1L2,且L1L2不平行。 
以下說明情況(i)與情況(ii)都不可能發生。


如果情形(i)成立,則得LABL1LBCL1,也就是LABLBC同時垂直於L1

Theorem 1-2LABLBC。(L1此時扮演定理中截線的角色)

但由於B¯AB¯BC,也就是LABLBC至少有1交點B,因此由平行之定義可得LAB=LBC,故A,B,C三點共線。

然而此與A,B,C三點可構成三角形之前提相矛盾,所以情形(i)不可能成立。



如果情形(ii)成立。由LABL1根據垂線基本公設PERP2LABL2。(LAB此時扮演公設中截線的角色)

而本來即有LBCL2,故此時LABLBC皆與L2垂直,所以由Theorem 1-2LABLBC。(L2此時扮演定理中截線的角色)

但由於B¯AB¯BC,也就是LABLBC至少有1交點B,因此由平行之定義可得LAB=LBC,故A,B,C三點共線。

然而此與A,B,C三點可構成三角形之前提相矛盾,所以情形(ii)不可能成立。


由以上討論可知情形(i)與情形(ii)皆不可能發生,故兩中垂線之相對關係必為情形(iii),即L1L2必相交於一點。

(證明終了)

3. 參考資料


[1] Serge Lang, Geometry (2nd edn.), Springer-Verlag

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