摘要
本文使用Serge Lang所著Geometry一書中的公設與定理來推導出「三角形任二邊之中垂線必相交於一點」,從而為外心的存在性(Theorem 5-2, p.128)建立論證基礎。
1. 要使用的定義、公設與定理
- 直線公設LIN (p.1):平面上兩相異點決定唯一直線。
- 直線L與直線K相交的部分以L∩K表示。
- 兩直線平行的定義 (p.2):兩直線互相平行⇔兩線重合或兩線不相交。
- 平行線基本公設,PAR1 (p.3):若兩直線不平行,則兩直線必相交於一點。
- 線段與直線相垂直的定義 (p.36):某線段與某直線垂直⇔該線段所在直線與另一直線相垂直。
- 垂線基本公設,PERP2 (p.37):若兩直線互相平行,而第三條直線(截線)與前兩線其中一條相垂直,則截線與另一直線亦垂直。
- Theorem 1-2 (p.37):若兩直線同時與第三條直線(截線)垂直,則原來兩直線互相平行。
2. 定理及其論證
[證]:假定所討論之三角形為△ABC,其中¯AB的中垂線為L1,¯BC的中垂線為L2,從而LAB⊥L1且LBC⊥L2。
L1與L2的關係只有3種可能,且一定有1種會成立:
(i) L1=L2;
(ii) L1≠L2,且L1∥L2;
(iii) L1≠L2,且L1與L2不平行。以下說明情況(i)與情況(ii)都不可能發生。
如果情形(i)成立,則得LAB⊥L1且LBC⊥L1,也就是LAB與LBC同時垂直於L1。
由Theorem 1-2得LAB∥LBC。(L1此時扮演定理中截線的角色)
但由於B∈¯AB∩¯BC,也就是LAB與LBC至少有1交點B,因此由平行之定義可得LAB=LBC,故A,B,C三點共線。
然而此與A,B,C三點可構成三角形之前提相矛盾,所以情形(i)不可能成立。
如果情形(ii)成立。由LAB⊥L1根據垂線基本公設PERP2有LAB⊥L2。(LAB此時扮演公設中截線的角色)
而本來即有LBC⊥L2,故此時LAB與LBC皆與L2垂直,所以由Theorem 1-2得LAB∥LBC。(L2此時扮演定理中截線的角色)
但由於B∈¯AB∩¯BC,也就是LAB與LBC至少有1交點B,因此由平行之定義可得LAB=LBC,故A,B,C三點共線。
由以上討論可知情形(i)與情形(ii)皆不可能發生,故兩中垂線之相對關係必為情形(iii),即L1與L2必相交於一點。
(證明終了)
3. 參考資料
[1] Serge Lang, Geometry (2nd edn.), Springer-Verlag
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