任意三角形任二邊之中垂線必相交於一點

摘要

本文使用Serge Lang所著Geometry一書中的公設與定理來推導出「三角形任二邊之中垂線必相交於一點」，從而為外心的存在性(Theorem 5-2, p.128)建立論證基礎。

1. 要使用的定義、公設與定理

• 直線公設LIN (p.1)：平面上兩相異點決定唯一直線。
• 直線$L$與直線$K$相交的部分以$L \cap K$表示。
• 兩直線平行的定義 (p.2)：兩直線互相平行$\Leftrightarrow$兩線重合或兩線不相交。
• 平行線基本公設，PAR1 (p.3)：若兩直線不平行，則兩直線必相交於一點。
• 線段與直線相垂直的定義 (p.36)：某線段與某直線垂直$\Leftrightarrow$該線段所在直線與另一直線相垂直。
• 垂線基本公設，PERP2 (p.37)：若兩直線互相平行，而第三條直線(截線)與前兩線其中一條相垂直，則截線與另一直線亦垂直。
• Theorem 1-2 (p.37)：若兩直線同時與第三條直線(截線)垂直，則原來兩直線互相平行。

2. 定理及其論證

定理：任意三角形任二邊之中垂線必相交於一點。

[證]：假定所討論之三角形為$\triangle ABC$，其中$\overline{AB}$的中垂線為$L_1$，$\overline{BC}$的中垂線為$L_2$，從而$L_{AB} \perp L_1$且$L_{BC} \perp L_2$。

$L_1$與$L_2$的關係只有3種可能，且一定有1種會成立：

(i) $L_1 = L_2$； 

(ii) $L_1 \neq L_2$，且$L_1 \parallel L_2$；

(iii) $L_1 \neq L_2$，且$L_1$與$L_2$不平行。 

以下說明情況(i)與情況(ii)都不可能發生。


如果情形(i)成立，則得$L_{AB} \perp L_1$且$L_{BC} \perp L_1$，也就是$L_{AB}$與$L_{BC}$同時垂直於$L_1$。

由Theorem 1-2得$L_{AB} \parallel L_{BC}$。($L_1$此時扮演定理中截線的角色)

但由於$B \in \overline{AB} \cap \overline{BC}$，也就是$L_{AB}$與$L_{BC}$至少有1交點$B$，因此由平行之定義可得$L_{AB} = L_{BC}$，故$A, B, C$三點共線。

然而此與$A, B, C$三點可構成三角形之前提相矛盾，所以情形(i)不可能成立。



如果情形(ii)成立。由$L_{AB} \perp L_1$根據垂線基本公設PERP2有$L_{AB} \perp L_2$。($L_{AB}$此時扮演公設中截線的角色)

而本來即有$L_{BC} \perp L_2$，故此時$L_{AB}$與$L_{BC}$皆與$L_2$垂直，所以由Theorem 1-2得$L_{AB} \parallel L_{BC}$。($L_2$此時扮演定理中截線的角色)

但由於$B \in \overline{AB} \cap \overline{BC}$，也就是$L_{AB}$與$L_{BC}$至少有1交點$B$，因此由平行之定義可得$L_{AB} = L_{BC}$，故$A, B, C$三點共線。

然而此與$A, B, C$三點可構成三角形之前提相矛盾，所以情形(ii)不可能成立。


由以上討論可知情形(i)與情形(ii)皆不可能發生，故兩中垂線之相對關係必為情形(iii)，即$L_1$與$L_2$必相交於一點。

(證明終了)

3. 參考資料

[1] Serge Lang, Geometry (2nd edn.), Springer-Verlag