=問題=
設$x>y$，求方程式$x^2+y^2=208(x-y)$的所有正整數解。
=解答=
首先由題目條件$x^2 + y^2 = 208(x - y)$得
$$x^2 + 2xy + y^2 = 208(x-y) + 2xy,$$
於是
$$(x+y)^2 = 2 [104(x - y) + xy],$$
這表示$(x+y)^2$是偶數，於是$x+y$是偶數。那麼可令$x+y = 2m$，代回得
$$4m^2 = 2 [104(x-y) + xy],$$
$$xy = 2[m^2 - 52(x-y)],$$
所以$xy$也是偶數。由此可知$x, y$之中至少其一必為偶數。再由$x+y$為偶數可知，$x, y$有相同的奇偶性，故$x, y$必同為偶數。
現在命$x = 2a, y = 2b$，代回$x^2 + y^2 = 208(x-y)$得
$$4a^2 +4b^2 = 208 \cdot 2(a - b),$$
$$a^2 + b^2 = 104(a - b).$$
仿以上的討論，可知$a, b$必同為偶數，再命$a = 2c, b = 2d$，得
$$c^2 + d^2 = 52(c - d).$$
續行此法，得
$$c = 2e, d = 2f,$$
$$e^2 + f^2 = 26(e - f),$$
$$e = 2g, f = 2h,$$
$$g^2 + h^2 = 13(g - h).$$
至此無法再按同格式化簡。注意$x = 2^4g, y = 2^4h$。我們對上式進行變形，
$$g^2 - h^2 + 2h^2 = 13(g - h),$$
$$2h^2 = (g - h)(13 - g - h).$$
利用算幾不等式有
$$\frac{(g - h) + (13 - g - h)}{2} \ge \sqrt{(g-h)(13 - g -h)},$$
整理得
$$\frac{13 -2h}{2} \ge \sqrt{2h^2},$$
$$2\sqrt{2}h \le 13 - 2h,$$
$$h \le \frac{13}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{13(\sqrt{2} - 1)}{2} \approx 2.692.$$
所以$h$可能為1或2。
若$h =1$，則
$$g^2 + 1 = 13(g - 1),$$
解得
$$g = \frac{13 \pm \sqrt{143}}{2} \notin \mathbb{Z}.$$
是以$h \ne 1$。
若$h = 2$，則
$$g^2 + 4 = 13(g - 2),$$
解得
$$g = 3 \quad 或\quad 10.$$
反推可知
$$(x, y) = (48, 32) \quad 或 \quad (160, 32).$$
=附記=
這是2017年3月17日寫的舊文，一直沒有打字，只是用照片的方式把解答貼在臉書粉絲頁。這幾天整理照片，覺得當時的解法還是頗有趣味，既用了整除性的討論，還用了算幾不等式估計範圍，應該打字下來做紀錄。
