多項式餘式問題一道

=題目= 

已知多項式\(f(x)\)除以\( x^2 + x + 1 \)和\( x+1 \)的餘式分別為\(2x-3\)和1，若\((x+2)f(x)\)除以 \((x+1)(x^2+x+1)\)的餘式為\(ax^2+bx+c\)，其中\(a,b,c\)為實數，則\(a−2b+c\)之值为何？

=答案=

\( -6 \)

=解析=

\( \begin{align*} f(x)&=(x^2+x+1)q_1 (x)+2x-3 \\ f(x)&=(x+1)q_2(x)+1 \Rightarrow f(-1)=1 \\ 1&=f(-1)=[(-1)^2+(-1)+1]q_1(-1)+2(-1)-3=q_1(-1)-5 \\ q_1(-1)&=6 \end{align*} \)

因此\( q_1(x)=6+p(x)(x+1)\)，其中\( p(x)\) 為任意多項式。（這裡使用了Newton插值法的書寫方式）

於是\( f(x)=(x^2+x+1)[6+p(x)(x+1)]+2x-3 = 6(x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)p(x)+2x-3 \)。

然後

\( \begin{align*} (x+2)f(x)&=(x+2)[6(x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)p(x)+2x-3] \\ &=6(x+2)(x^2+x+1)+(x+2)(x+1) (x^2+x+1)p(x) + (x+2)(2x-3) \\ &=6[(x+1)+1](x^2+x+1)+(x+1)(x^2+x+1)(x+2)p(x) +2x^2+x-6 \\ &=6(x+1)(x^2+x+1)+6(x^2+x+1) +(x+1)(x^2+x+1)(x+2)p(x)+2x^2+x-6 \\ &=(x+1)(x^2+x+1)[(x+2)p(x)+6]+8x^2+7x \end{align*} \)

\( \Rightarrow a=8, b=7, c=0 \)

所求\( a-2b+c=8-14+0=-6\)

（解答終了）

=附註=

本題是在臉書高中數學討論區社團看到的，一位彰化女中的學生鄭雅菁提問的。儘管她回覆網友她得到解答了，但她貼出來的解答卻是有問題的，我看了後覺得怪怪的，也不知為何討論串的留言被關閉，所以我就自己算了一遍，私訊發給她，也順道把這題目給我的學生們瞧瞧。

[106學測，排列組合] 小明午餐計畫安排：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯

 ==問題==

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：

（甲）每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次；

（乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食。

根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？

(1)52    (2)60    (3)68    (4)76    (5)84

（出處：106，學測數學）

==答案==

(2)

==解析==

首先，因為餐點只有4種，而每天都只能吃1種，然後又每種都至少必須點1次，這表示必然有其中一種餐點選了2次（而其他餐點都被各選1次）。

為了討論方便，我們將4種餐點分別記為$N_1, N_2, R_1, R_2$（麵：Noodle；飯：Rice）。

按照前文所述，當我們只先關心該週餐點構成，先不討論吃的順序，那就有以下4種情況：

（1）$N_1$重複：$N_1, N_1, N_2, R_1, R_2$

（2）$N_2$重複：$N_1, N_2, N_2, R_1, R_2$

（3）$R_1$重複：$N_1, N_2, R_1, R_1, R_2$

（4）$R_2$重複：$N_1, N_2, R_1, R_2, R_2$

接著我們來處理排列的順序。

根據條件（乙）「連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食」，那麼以上的4種情況中，前兩種（麵重複）比較容易處理，我們可以用兩個$R$去把三個$N$給隔開，形如

$$N_\square R_\square N_\square R_\square N_\square$$

（注意現在已經開始考慮順序了！）以情況（1）來說，兩個$R$的下標只能不重複地填入1與2，然後三個$N$的下標就是填入兩個1與一個2，因此方法數為

$$2! \times \frac{3!}{2!1!} = 2 \times 3 = 6.$$

情況（2）討論的方式也相同，只不過在填入三個$N$的下標時改為填入一個1與兩個2。因此方法數同樣也是

$$2! \times \frac{3!}{1!2!} = 2 \times 3 = 6.$$

然後是情況（3）與（4）了。

同樣根據條件（乙），對於情況（3），必須①$N_1, N_2$不相鄰、②$R_1, R_1$不相鄰，這種限制位置的排列問題，依照過去學習經驗，我們應該採用排容原理。設事件$A=\{N_1, N_2\text{不相鄰}\}$、事件$B = \{ R_1, R_1不相鄰 \}$，於是

$$A'=\{N_1, N_2\text{相鄰}\}, B' = \{ R_1, R_1相鄰 \}.$$

注意無論是$n(A'), n(B')$還是$n(A' \cap B')$都很容易計算！使用排容原理與De Morgan定律，我們有

$$\begin{align*}  n(A \cap B) &= n[(A' \cup B')'] \\ &=n(U) - n(A' \cup B') \\ &=\frac{5!}{2!} - [n(A') + n(B') - n(A' \cap B')] \\ &= 60 - \left[\frac{4!}{2!}\times 2! + 4! - 3!\times 2!\right] \\ &= 60 -[24 + 24 - 12] \\ &= 24. \end{align*}$$

情況（4）的討論基本上與情況（3）相仿，只是要把本來的事件$B = \{ R_1, R_1不相鄰 \}$換成事件$C = \{ R_2, R_2不相鄰 \}$，然後計算的方式與數字都會完全相同，因此方法數同樣也是24。

綜上所述，小明安排午餐的方法一共是$6 + 6 + 24 + 24 = 60$種，選(2)。

（解答終了）

[高中解析幾何] 已知三角形兩高方程式與三角形一頂點，求三角形另兩頂點

==問題== 

已知$\Delta ABC$中，兩條高所在直線的方程式為$L_1:2x-3y+1=0$和$L_2:x+y=0$，且頂點$A$為$(1, 2)$，試求$\overline{BC}$所在之直線方程式。

（出處：新竹高中112學年高三數學A學測複習講義）

==答案==

$2x+3y+7=0$

==解析==

設$\Delta ABC$之垂心為$H$，於是$H$即為$L_1$和$L_2$的交點，解聯立方程式得$H=\left(\frac{-1}{5}, \frac{1}{5} \right)$。

由垂心的定義，必然有$\overrightarrow{HB} \perp \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{HC} \perp \overrightarrow{AB}$及$\overrightarrow{HA} \perp \overrightarrow{BC}$。從而可以知道直線$BC$的法向量$\overrightarrow{n}$必與$\overrightarrow{HA} = \left( \frac{6}{5}, \frac{9}{5} \right)$平行，因此可以取$\overrightarrow{n} = (2, 3)$，然後便可假定直線$BC$的方程式為$2x+3y=k$，其中$k$為待定常數。

再根據題目條件，直線$BC$與$L_1, L_2$的兩個交點必然是$B$與$C$，但此時無法確定哪個交點是$B$、哪個交點是$C$。我們暫且將這兩個交點記為$P$與$Q$，然後解出$P = \left( \frac{k-1}{4}, \frac{k+1}{6} \right)$與$Q = (-k, k)$。

由第二段所述的垂直關係，必有$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{QH}$，由內積為零得方程式

$$\frac{k-5}{4}\cdot \frac{5k-1}{5} + \frac{k-11}{6} \cdot \frac{1-5k}{5} = 0.$$

解得$k = \frac{1}{5}$或$-7$。然而，若$k = \frac{1}{5}$，則$Q = \left( \frac{-1}{5}, \frac{1}{5} \right) = H$，垂心與頂點重合，矛盾！所以$k$只能是$-7$，得直線$BC$的方程式為$2x+3y=-7$。

（解答終了）

[線性代數] 求矩陣與證明秩

==題目==

Let $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6 \end{bmatrix}$, then 

(a) Find a $5 \times 5$ matrix $M$ with rank 1 such that $AM=O$, where $O$ is the $4 \times 5$ zero matrix.

(b) Suppose that $B$ is a $5 \times 5$ matrix such that $AB=O$. Prove that ${\rm rank} (B) \le 2$.

[東海大學資工系線性代數考古題]

==解答==

(a) 首先計算矩陣$A$的最簡列梯形式(Reduced Row Echelon Form)，將之記為$R$，得

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0& 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

把矩陣$A, R$各別的行向量(column vector)記為$A_1, A_2, \cdots, A_5, R_1, R_2, \cdots, R_5$。觀察$R$可得

$$\begin{align*} &R_3 = (-1)R_1 + 2R_2, \\ &R_5 = (-3)R_1 + (-1)R_2 + 2R_4. \end{align*}$$

從而可判定$A_1, A_2, A_4$是矩陣$A$的行空間(column space)的基底向量，並且一樣有

$$\begin{align*} &A_3 = (-1)A_1 + 2A_2, \\ &A_5 = (-3)A_1 + (-1)A_2 + 2A_4. \end{align*}$$

矩陣$A$用行分割形式可記為$A = \left[ A_1 \,\, A_2 \,\, A_3 \,\, A_4 \,\, A_5 \right]$，再由以上討論可改寫為

$$A = \left[ A_1 \,\, A_2 \,\, \color{red}{(-1)A_1 + 2A_2} \,\, A_4 \,\, \color{red}{(-3)A_1 + (-1)A_2 + 2A_4} \right].$$

現在考慮矩陣$M$，由於題目要求${\rm rank} M = 1$，所以我們只需構造$M$的第一行，剩餘行皆取零向量即可。記$M$的第1行為$\begin{bmatrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \end{bmatrix}$，於是由$AM = O$得

$$m_1A_1 + m_2A_2 + m_3\left[ (-1)A_1 + 2A_2 \right] + m_4A_4 + m_5\left[ (-3)A_1 + (-1)A_2 + 2A_4 \right] = O_{5\times 1}.$$

不難透過觀察矩陣$A$行向量之間的關係知道取$m_3 = 1, m_5 = 1, m_1 = 4, m_2 = -1, m_4 = -2$，於是即得矩陣$M$如下

$$M = \begin{bmatrix} 4&0&0&0&0 \\ -1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0 \\ -2&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0 \\ \end{bmatrix}.$$

(b) 考慮線性映射$L_A: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^4, L_A(x) = Ax$與$L_B: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5$。由(a)題討論可知$\dim R(A) = 3, \dim N(A) = 2$。考慮$L_B$與$L_A$的複合，即$L_A \circ L_B: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^4$，我們有$L_A \circ L_B = L_{AB}$，於是對於任一$x \in \mathbb{R}^5$，我們有$(AB)x = 0$，而由矩陣乘法結合律得$0 = (AB)x = A(Bx)$，因此可知$Bx \in N(A)$，這意味著$R(B) \subseteq N(A)$，從而$\dim R(B) \le \dim N(A)$，亦即有${\rm rank} (B) \le 2$。

（解答終了）

==附記==

部落格半年多沒有更新文章，是因為從去年五月開始自己經營教室後，閒暇的時間不若以往多，教室裡所有事情都是我一個人親力親為，在一天工作結束後，常常想的是休息娛樂，而非花時間敲鍵盤寫數學。如今開業一年多了，很多事情也差不多步上軌道，我也要努力調整自己的作息狀態，然後盡量能多更新部落格的文章。

處理集合問題不一定只能用文氏圖：以106學測多選第12題為例

==問題==

某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有$x$人，數學及格但英文不及格的有$y$人。請選出正確的選項。

(1) $x+y=39$

(2) $y \le 11$

(3) 三科中至少有一科不及格的學生有$39-x+y$人

(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11人

(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27人

==答案==

(2), (5)

==解答==

一般而言，這類題目標準手法就是使用文氏圖（Venn diagram），但本題如果使用文氏圖，例如下面，我認為是相對複雜的，一般學生畫不太出來，我自己也覺得難畫。

本題常見解答的文氏圖（來源：https://chu246.blogspot.com/2018/02/106.html）

我這裡提供一個畫數線的處理方法，或許某種程度來說相對更容易一些，供各位參考指教。

首先我們畫出一條橫線代表全班，在上頭標記50，表示全班共有50人。

接著對於國文、英文與數學三科，其中國文人數最多，而且人數是確定的，從而我們再繼續畫出第二條橫線來表示國文及格者，在上頭標記45，表示國文及格者共有45人。

上圖中紅色線段表示國文不及格者，共有5人。

接著來畫人數第二多的英文，注意由條件「英文及格的學生國文也都及格」，這意味著代表英文的橫線，其繪製範圍必然限制於國文的範圍之內，如下所示。

上圖中綠色線段表示國文及格且英文不及格者，共有6人。粉紅色線段為國文不及格與英文不及格者，共有5人。

最後來畫數學及格的橫線。注意數學與其他科並未有任何特殊關係，因此代表數學的線段可以在全範圍內移動，下圖中展示幾種可能性。

「數學和英文皆及格」與「數學及格但英文不及格」將代表數學的線段分為兩部分，我們現在將之畫出，其中用橘色表示「數學和英文皆及格」，人數為$x$；用紫色表示「數學及格但英文不及格」，人數為$y$。

現在來討論每個選項。

(1) ×：$x + y = 34$。

(2) ○：由圖可知。

(3) ×：「三科中至少有一科不及格的學生」＝「全班」－「三科全及格」＝$50-x$。

           這裡「三科全及格」，就是三條橫線「共同」涵蓋的部分，由上圖可知就是$x$。

(4) ×：$23 \le x \le 34 \Rightarrow 16 \le 50 - x \le 27$，所以「三科中至少有一科不及格的學生」最少16人。

(5) ○：見(4)之討論。

（解答終了）

三角函數疊合反推發生極值區間範圍的決定參數

==問題==

已知函數$y = f(x) = \sqrt{3} \sin \alpha x + \cos \alpha x$（$\alpha > 0$）的圖形在$- \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$的範圍下，恰有一個最大值點與最小值點，則實數$\alpha$的範圍為何？

==解答==

首先對函數進行疊合，

$$y = f(x) = \sqrt{3} \sin \alpha x + \cos \alpha x = 2 \sin \left( \alpha x + \frac{\pi}{6} \right).$$

由$- \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{3}$得$\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4} \le \alpha x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$。令$\theta = \alpha x + \frac{\pi}{6}$，故原本的函數$f(x)$變為$g(\theta) = 2 \sin \theta$，其中$\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$，且$g(\theta)$在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$中恰有一個最大值與最小值點。

關於$\theta$之範圍，可看成是以$\frac{\pi}{6}$為出發點，向左延伸$\frac{\alpha \pi}{4}$、向右延伸$\frac{\alpha \pi}{3}$。左右延伸量的長度比為$\frac{\alpha \pi}{4} : \frac{\alpha \pi}{3} = 3: 4$。注意向右延伸的長度比較長！

由上圖可知，在$\alpha$充分小時，$y = g(\theta)$在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$是嚴格遞增的。我們逐步增加$\alpha$的大小，在區間右端點達到$\frac{3\pi}{2}$時，$\alpha = 4$，這時區間左端點為$- \frac{5\pi}{6}$，但$g(\theta)$會在$\left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha \pi}{4},  \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}\right]$發生2次最小值，與題目條件矛盾。因此右端點$\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3}$必須$< \frac{3\pi}{2}$，也就是有

$$\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha \pi}{3} < \frac{3\pi}{2},$$

得$\alpha < 4$。

綜上所述，本題答案為$0 < \alpha < 4$。

2022年9月16日文章〈一道式的運算題目〉的幾何另解

原題目如下

若三個非零實數$a, b, c$滿足$a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$，則

$$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$$

的值為何？

原解答請見我2022年9月16日的文章〈一道式的運算題目〉 。類似的題目也可參考我2021年1月10日的文章〈一道三變數的受約束極值問題〉。

以下是本題的幾何解答。

為敘述方便，將原題目的$a, b, c$依序替換為$x, y, z$。如2022年9月16日文章所言，兩個約束條件$x + y + z = 2$與$x^2 + y^2 + z^2 = 2$分別是三維空間中的平面與球，記為$E$與$S$。聯立考慮則為一個空間中的圓，設其圓心為$K$、半徑為$R$。

我們可以取平面$E$的法向量為$\overrightarrow{n} = (1, 1, 1)$。而$d(O, E) = \frac{|0 + 0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$。由於$| \overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$，因此有$\overrightarrow{OK} = \frac{2}{3} \overrightarrow{n} = \left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$，故$K$之座標為$\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$。

由於球面$S$的半徑為$\sqrt{2}$，而$\overline{OK} = d(O, E) = \frac{2}{3} \sqrt{3}$，因此由商高定理有$R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - \left( \frac{2}{3} \sqrt{3} \right)^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

現在我們要取一個與法向量$\overrightarrow{n}$垂直的向量，從而這向量可經過適當的平移而完全落在平面$E$上。不難由內積的計算可取向量$\overrightarrow{a} = (1, 0, -1)$，其長度為$\sqrt{2}$。接著再取$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{n} \times \overrightarrow{a} = (-1, 2, -1)$。從而$\overrightarrow{n}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$構成空間中的一組正交基。

接著我們重新調整向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的長度，使其長度恰好是$R = \frac{\sqrt{6}}{3}$。取向量$\overrightarrow{p} = \frac{\sqrt{3}}{3} \overrightarrow{a} = \left( \frac{\sqrt{3}}{3}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)$，然後$\overrightarrow{q} = \frac{1}{3} \overrightarrow{b} = \left( -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right)$。

此時圓$K$之圓周上任一點$P$的座標均可表示為

$$P = K + \cos \theta \overrightarrow{p} + \sin \theta \overrightarrow{q}, \quad \theta \in [0, 2\pi].$$

具體寫出其每個座標分量為

$$\left\{ \begin{align*} &x = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta - \frac{1}{3} \sin \theta \\ &y = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \sin \theta \\ &z = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta - \frac{1}{3} \sin \theta \end{align*} \right. ,$$

將之代入所要計算的式子$\frac{(1-a)^2}{bc}+\frac{(1-b)^2}{2ca}+\frac{(1-c)^2}{3ab}$進行化簡，即可求出結果為$\frac{11}{6}$。

參考資料

[1] 〈Re: [幾何] 三維空間的圓〉https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1295717959.A.C88.html

[2] 一道三變數的受約束極值問題https://cosmicmathschool.blogspot.com/2021/01/blog-post.html