==問題==
已知函數y=f(x)=√3sinαx+cosαx(α>0)的圖形在−π4≤x≤π3的範圍下,恰有一個最大值點與最小值點,則實數α的範圍為何?
==解答==
首先對函數進行疊合,
y=f(x)=√3sinαx+cosαx=2sin(αx+π6).
由−π4≤x≤π3得π6−απ4≤αx+π6≤π6+απ3。令θ=αx+π6,故原本的函數f(x)變為g(θ)=2sinθ,其中π6−απ4≤θ≤π6+απ3,且g(θ)在[π6−απ4,π6+απ3]中恰有一個最大值與最小值點。
關於θ之範圍,可看成是以π6為出發點,向左延伸απ4、向右延伸απ3。左右延伸量的長度比為απ4:απ3=3:4。注意向右延伸的長度比較長!
由上圖可知,在α充分小時,y=g(θ)在[π6−απ4,π6+απ3]是嚴格遞增的。我們逐步增加α的大小,在區間右端點達到3π2時,α=4,這時區間左端點為−5π6,但g(θ)會在[π6−απ4,π6+απ3]發生2次最小值,與題目條件矛盾。因此右端點π6+απ3必須<3π2,也就是有
π6+απ3<3π2,
得α<4。
綜上所述,本題答案為0<α<4。
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