處理集合問題不一定只能用文氏圖：以106學測多選第12題為例

==問題==

某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。現假設數學和英文皆及格的有$x$人，數學及格但英文不及格的有$y$人。請選出正確的選項。

(1) $x+y=39$

(2) $y \le 11$

(3) 三科中至少有一科不及格的學生有$39-x+y$人

(4) 三科中至少有一科不及格的學生最少有11人

(5) 三科中至少有一科不及格的學生最多有27人

==答案==

(2), (5)

==解答==

一般而言，這類題目標準手法就是使用文氏圖（Venn diagram），但本題如果使用文氏圖，例如下面，我認為是相對複雜的，一般學生畫不太出來，我自己也覺得難畫。

本題常見解答的文氏圖（來源：https://chu246.blogspot.com/2018/02/106.html）

我這裡提供一個畫數線的處理方法，或許某種程度來說相對更容易一些，供各位參考指教。

首先我們畫出一條橫線代表全班，在上頭標記50，表示全班共有50人。

接著對於國文、英文與數學三科，其中國文人數最多，而且人數是確定的，從而我們再繼續畫出第二條橫線來表示國文及格者，在上頭標記45，表示國文及格者共有45人。

上圖中紅色線段表示國文不及格者，共有5人。

接著來畫人數第二多的英文，注意由條件「英文及格的學生國文也都及格」，這意味著代表英文的橫線，其繪製範圍必然限制於國文的範圍之內，如下所示。

上圖中綠色線段表示國文及格且英文不及格者，共有6人。粉紅色線段為國文不及格與英文不及格者，共有5人。

最後來畫數學及格的橫線。注意數學與其他科並未有任何特殊關係，因此代表數學的線段可以在全範圍內移動，下圖中展示幾種可能性。

「數學和英文皆及格」與「數學及格但英文不及格」將代表數學的線段分為兩部分，我們現在將之畫出，其中用橘色表示「數學和英文皆及格」，人數為$x$；用紫色表示「數學及格但英文不及格」，人數為$y$。

現在來討論每個選項。

(1) ×：$x + y = 34$。

(2) ○：由圖可知。

(3) ×：「三科中至少有一科不及格的學生」＝「全班」－「三科全及格」＝$50-x$。

           這裡「三科全及格」，就是三條橫線「共同」涵蓋的部分，由上圖可知就是$x$。

(4) ×：$23 \le x \le 34 \Rightarrow 16 \le 39 - x \le 27$，所以「三科中至少有一科不及格的學生」最少16人。

(5) ○：見(4)之討論。

（解答終了）