[線性代數] 求矩陣與證明秩

==題目==

Let $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6 \end{bmatrix}$, then 

(a) Find a $5 \times 5$ matrix $M$ with rank 1 such that $AM=O$, where $O$ is the $4 \times 5$ zero matrix.

(b) Suppose that $B$ is a $5 \times 5$ matrix such that $AB=O$. Prove that ${\rm rank} (B) \le 2$.

[東海大學資工系線性代數考古題]

==解答==

(a) 首先計算矩陣$A$的最簡列梯形式(Reduced Row Echelon Form)，將之記為$R$，得

$$R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0& 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

把矩陣$A, R$各別的行向量(column vector)記為$A_1, A_2, \cdots, A_5, R_1, R_2, \cdots, R_5$。觀察$R$可得

$$\begin{align*} &R_3 = (-1)R_1 + 2R_2, \\ &R_5 = (-3)R_1 + (-1)R_2 + 2R_4. \end{align*}$$

從而可判定$A_1, A_2, A_4$是矩陣$A$的行空間(column space)的基底向量，並且一樣有

$$\begin{align*} &A_3 = (-1)A_1 + 2A_2, \\ &A_5 = (-3)A_1 + (-1)A_2 + 2A_4. \end{align*}$$

矩陣$A$用行分割形式可記為$A = \left[ A_1 \,\, A_2 \,\, A_3 \,\, A_4 \,\, A_5 \right]$，再由以上討論可改寫為

$$A = \left[ A_1 \,\, A_2 \,\, \color{red}{(-1)A_1 + 2A_2} \,\, A_4 \,\, \color{red}{(-3)A_1 + (-1)A_2 + 2A_4} \right].$$

現在考慮矩陣$M$，由於題目要求${\rm rank} M = 1$，所以我們只需構造$M$的第一行，剩餘行皆取零向量即可。記$M$的第1行為$\begin{bmatrix} m_1 \\ m_2 \\ m_3 \\ m_4 \\ m_5 \end{bmatrix}$，於是由$AM = O$得

$$m_1A_1 + m_2A_2 + m_3\left[ (-1)A_1 + 2A_2 \right] + m_4A_4 + m_5\left[ (-3)A_1 + (-1)A_2 + 2A_4 \right] = O_{5\times 1}.$$

不難透過觀察矩陣$A$行向量之間的關係知道取$m_3 = 1, m_5 = 1, m_1 = 4, m_2 = -1, m_4 = -2$，於是即得矩陣$M$如下

$$M = \begin{bmatrix} 4&0&0&0&0 \\ -1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0 \\ -2&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&0 \\ \end{bmatrix}.$$

(b) 考慮線性映射$L_A: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^4, L_A(x) = Ax$與$L_B: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^5$。由(a)題討論可知$\dim R(A) = 3, \dim N(A) = 2$。考慮$L_B$與$L_A$的複合，即$L_A \circ L_B: \mathbb{R}^5 \rightarrow \mathbb{R}^4$，我們有$L_A \circ L_B = L_{AB}$，於是對於任一$x \in \mathbb{R}^5$，我們有$(AB)x = 0$，而由矩陣乘法結合律得$0 = (AB)x = A(Bx)$，因此可知$Bx \in N(A)$，這意味著$R(B) \subseteq N(A)$，從而$\dim R(B) \le \dim N(A)$，亦即有${\rm rank} (B) \le 2$。

（解答終了）

==附記==

部落格半年多沒有更新文章，是因為從去年五月開始自己經營教室後，閒暇的時間不若以往多，教室裡所有事情都是我一個人親力親為，在一天工作結束後，常常想的是休息娛樂，而非花時間敲鍵盤寫數學。如今開業一年多了，很多事情也差不多步上軌道，我也要努力調整自己的作息狀態，然後盡量能多更新部落格的文章。