Processing math: 100%

2023年8月24日 星期四

[高中解析幾何] 已知三角形兩高方程式與三角形一頂點,求三角形另兩頂點

==問題== 

已知ΔABC中,兩條高所在直線的方程式為L1:2x3y+1=0L2:x+y=0,且頂點A(1,2),試求¯BC所在之直線方程式。

(出處:新竹高中112學年高三數學A學測複習講義)

==答案==

2x+3y+7=0

==解析==

ΔABC之垂心為H,於是H即為L1L2的交點,解聯立方程式得H=(15,15)

由垂心的定義,必然有HBAC,HCABHABC。從而可以知道直線BC的法向量n必與HA=(65,95)平行,因此可以取n=(2,3),然後便可假定直線BC的方程式為2x+3y=k,其中k為待定常數。

再根據題目條件,直線BCL1,L2的兩個交點必然是BC,但此時無法確定哪個交點是B、哪個交點是C。我們暫且將這兩個交點記為PQ,然後解出P=(k14,k+16)Q=(k,k)

由第二段所述的垂直關係,必有APQH,由內積為零得方程式

k545k15+k11615k5=0.

解得k=157。然而,若k=15,則Q=(15,15)=H,垂心與頂點重合,矛盾!所以k只能是7,得直線BC的方程式為2x+3y=7

(解答終了)

沒有留言:

張貼留言