==問題==
已知ΔABC中,兩條高所在直線的方程式為L1:2x−3y+1=0和L2:x+y=0,且頂點A為(1,2),試求¯BC所在之直線方程式。
(出處:新竹高中112學年高三數學A學測複習講義)
==答案==
2x+3y+7=0
==解析==
設ΔABC之垂心為H,於是H即為L1和L2的交點,解聯立方程式得H=(−15,15)。
由垂心的定義,必然有→HB⊥→AC,→HC⊥→AB及→HA⊥→BC。從而可以知道直線BC的法向量→n必與→HA=(65,95)平行,因此可以取→n=(2,3),然後便可假定直線BC的方程式為2x+3y=k,其中k為待定常數。
再根據題目條件,直線BC與L1,L2的兩個交點必然是B與C,但此時無法確定哪個交點是B、哪個交點是C。我們暫且將這兩個交點記為P與Q,然後解出P=(k−14,k+16)與Q=(−k,k)。
由第二段所述的垂直關係,必有→AP⊥→QH,由內積為零得方程式
k−54⋅5k−15+k−116⋅1−5k5=0.
解得k=15或−7。然而,若k=15,則Q=(−15,15)=H,垂心與頂點重合,矛盾!所以k只能是−7,得直線BC的方程式為2x+3y=−7。
(解答終了)
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