2018印度理工學院入學考試高級試(JEE Advanced)的一題微分方程初始值問題

==問題== 

(譯文)

設可微函數$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$滿足$f(0) = 1$且對於任意實數$x, y$有

$$f(x+y) = f(x)f'(y) + f'(x)f(y).$$

試求出$\ln f(4)$之值。

(原文)

Let $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function with $f(0) = 1$ and satisfying the equation

$$f(x+y) = f(x)f'(y) + f'(x)f(y) \,\, \text{for all}\,\, x, y \in \mathbb{R}.$$

Then the value of $\ln f(4)$ is     .

==解答==

($1^\circ$)

$$\begin{align*} &f(0) = f(0+0) = f(0)f'(0) + f'(0)f(0) \\ \Rightarrow &f(0) = 2f(0)f'(0) \\ \Rightarrow &1 = 2\cdot 1 \cdot f'(0) \\ \Rightarrow &f'(0) = \frac{1}{2}. \end{align*}$$

($2^\circ$)

$$\begin{align*} &f(x) = f(0+x)=f(0)f'(x)+f'(0)f(x) = 1\cdot y' + \frac{1}{2} y \\ \Rightarrow &y = y' + \frac{1}{2} y \\ \Rightarrow &y' = \frac{1}{2}y \\ \Rightarrow & y = e^{\frac{1}{2}x} + C.  \end{align*}$$

$x = 0$代入，得

$$1 = e^{\frac{1}{2}\cdot 0} + C.$$

故$C = 0$，即

$$y = e^{\frac{1}{2}x}.$$

所以

$$\ln f(4) = \ln e^{\frac{1}{2} \cdot 4} = \ln e^2 = 2.$$

==評論==

輕而易舉

對數不等式一題

==問題==

設$a$為實數。當$a$為何值時，式$\log_a (a^2 + a)$為正？

==解答==

首先分析對數的底數與真數。

底數為$a$，故$a>0$且$a \ne 1$。

真數為$a^2 + a$，所以$a^2 + a>0$。對不等式$a^2 + a > 0$左右同加$\frac{1}{4}$，得$a^2 + a + \frac{1}{4} > \frac{1}{4}$，於是$\left( a + \frac{1}{2}\right)^2 > \frac{1}{4}$，化簡為$\left( a + \frac{1}{2}\right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 > 0$，利用平方差公式得$\left( a+\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) \left( a+\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) > 0$，即$a(a+1)>0$，從而$a>0$或$a < -1$。

綜上所述，得$a>0$且$a \ne 1$。

接著分析對數不等式本身。

$\log_a (a^2 + a) > 0$即為$\log_a (a^2 + a) > \log_a 1$。此時必須按$a$的大小分情況才能確定下一步。

情形1：$0 < a < 1$

此時由$\log_a (a^2 + a) > \log_a 1$可推得$a^2 + a < 1$，於是$a^2 + a - 1 < 0$，解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。但注意在此情況預先限定$0 < a < 1$，所以結論是$0 < a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。

情形2：$a > 1$

此時由$\log_a (a^2 + a) > \log_a 1$可推得$a^2 + a > 1$，於是$a^2 + a -1 > 0$，解得$a < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$或$a > \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。但注意在此情況預先限定$a > 1$，所以結論是$a > 1$。

綜合以上情形1與情形2討論結果，可得$0 < a < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$a > 1$。

事實上，如果考慮函數$y = \log_x (x^2 + x)$，則不等式$\log_a (a^2 + a) > 0$可看做尋找函數曲線在$x$軸上方的部分。此函數的圖形如下：

藥師輪值排班問題

==問題== 

航獵藥局有三名藥師，週一到週五每天均需安排兩名藥師負責發放口罩，若每名藥師最多輪值四天，則這五天藥師們有多少種輪值的方式。

[109，第一學期，台北區第一次學科能力測驗模擬考]

==解答==

假定藥師為$A, B, C$，出席天數各為$a, b, c$，再根據條件「最多輪值四天」，以大者為優先來列出，可得到$(a, b, c) = (4, 4, 2), \underbrace{(4, 2, 4), (2, 4, 4)}_{(4, 4, 2)輪列}, (4, 3, 3), \underbrace{(3, 4, 3), (3, 3, 4)}_{(4, 3, 3)輪列}$。

先以$(4, 4, 2)$做討論。首先$A$從5天中選擇4天輪值。接著換$B$選輪值日，但注意到$B$必定要在$A$沒上班的那一日去上班，所以$B$的自由選擇只有從4天中選擇3天。最後是$C$只能從剩下的日子照單全收。因此排班的方法數為

$${5 \choose 4} \times {1 \choose 1} \times {4 \choose 3} \times {2 \choose 2} = 20.$$

其他的$(4, 2, 4)$與$(2, 4, 4)$討論方式亦然，也都是20種。

再以$(4, 3, 3)$做討論。首先$A$從5天中選擇4天輪值。接著換$B$選輪值日，但注意到$B$必定要在$A$沒上班的那些日子去上班，所以$B$的自由選擇只有從4天中選擇2天。最後是$C$只能從剩下的日子照單全收。因此排班的方法數為

$${5 \choose 4} \times {1 \choose 1} \times {4 \choose 2} \times {3 \choose 3} = 30.$$

其他的$(3, 4, 3)$與$(3, 3, 4)$討論方式亦然，也都是30種。

因此本題的排班方法數為$20 \times 3 + 30 \times 3 = 150$種。

（解答終了）

110年學測試辦考試，數學單選5，壽司

==問題== 

甲、乙、丙三人到旋轉壽司餐廳用餐。餐廳現有10種壽司，每種壽司僅剩2盤。假設每種壽司每個人至多只能拿1盤，用完餐後發現每種壽司都至少有人拿了1盤。試問三人拿取壽司的組合共有幾種？

(1) $2^{10}$    (2) $5^{10}$    (3) $6^{10}$    (4) $7^{10}$    (5) $8^{10}$

==解答==

假設壽司種類為$a_1, a_2, \cdots, a_{10}$。

單以第1種壽司$a_1$而論，根據題目條件，被拿取的可能盤數為1或2。如果是被拿1盤，那麼就是甲、乙、丙三人之中一人所取，因此有${3 \choose 1} = 3$種可能；如果是被拿2盤，那麼就是甲、乙、丙三人之中的兩人所取，因此有${3 \choose 2} = 3$種可能。由加法原理知，$a_1$壽司的分配方法一共有$3+3=6$種可能。

對於其他壽司$a_2$、$a_3$、...、$a_{10}$討論的方法也都相同，所以各別亦都是6種可能性。

從$a_1$開始逐步分配，直到$a_{10}$分完為止，依據乘法原理，一共有$\underbrace{6 \times 6 \times \cdots \times 6}_{10{\text 個}} = 6^{10}$種方法。所以選(3)。

（解答終了）

110年學測試辦考試，數學非選擇題，平面線性變換的問題

==問題== 

以$T$表由$\begin{bmatrix} a&-b \\ b&a \end{bmatrix}$定義的平面線性變換，其中$a$、$b$為實數。試回答下列問題。

18. 若$T$將點$(0, 1)$映射到直線$y = 5x+13$上一點，試問下列哪一選項是正確的？（單選題，3分）

       (1) $a-5b=13$

       (2) $a+5b=13$

       (3) $5a-b=13$

       (4) $5a+b=13$

       (5) $-5a+b=13$

19. 若$T$將直線$y = x+1$上的點都映射到直線$y = 5x+13$上，試求$a$、$b$。（非選擇題，6分）

20. （承19題）設$P, Q$為平面上兩相異點，令$P'=T(P)$、$Q'=T(Q)$，試說明$\frac{\overline{P'Q'}}{\overline{PQ}}$為定值，並求此值。（非選擇題，6分）

==解答==

18. $\begin{bmatrix} a&-b \\ b&a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -b \\ a \end{bmatrix}$，所以將$x = -b, y=a$代入直線方程式$y = 5x+13$，得$a=5(-b)+13$，整理有$a+5b=13$，選(2)。

19. 再取直線$y = x+1$上另一點$(-1, 0)$，於是可經$T$變換為點$(-a, -b)$。根據題意，點$(-a, -b)$也會在直線$y = 5x+13$上，所以代入得$5a-b=13$。因此與18題的$a+5b=13$一起，可解得$a = 3, b = 2$。

20. 根據19題的結果，題目的矩陣為$\begin{bmatrix} 3&-2 \\ 2&3 \end{bmatrix}$，可將之改寫為$\sqrt{13} \begin{bmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}}&\frac{-2}{\sqrt{13}} \\ \frac{2}{\sqrt{13}}&\frac{3}{\sqrt{13}} \end{bmatrix}$，這意味著變換$T$的幾何意義為：以原點$O$為中心，先旋轉角度$\theta$，然後再伸縮$\sqrt{13}$倍，其中角度$\theta$滿足$\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} \end{array} \right.$，如下圖所示：

因此如果設$\overline{PQ}$的長度為$l$，起先旋轉不會改變其長度，但接下來會伸縮$\sqrt{13}$倍，從而$\overline{P'Q'}$的長度為$\sqrt{13}\cdot l$，得$\frac{\overline{P'Q'}}{\overline{PQ}} = \sqrt{13}$。

（解答終了）

連續正整數立方和公式反推數列通項的數學歸納法問題

==問題== 

設${a_n}$是一個正實數所構成的無窮數列，且滿足

$$\sum_{i=1}^{n} a_i^3 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2, n\ge 1.$$

是否此數列為$a_n = n$？

[許志農，《算術講義》，第4章  數學歸納法  習題4.4]

==解答==

首先要計算數列的前幾項。

當$n = 1$時，根據數列所滿足的條件有$a_1^3 = (a_1)^2$，解得$a_1 = 1$。

當$n = 2$時，根據數列所滿足的條件有$1^3 + a_2^3 = (1 + a_2)^2$，解得$a_2 = 2$。

當$n = 3$時，根據數列所滿足的條件有$1^3 +2^3 +a_3^3 = (1 + 2 + a_3)^2$，解得$a_3 = 3$。

從以上的計算，猜測$a_n = n$。

假定$a_i = i$對$i =1, 2, \cdots, n$都成立，亦即有$a_1 = 1, a_2 = 2, \cdots, a_n = n$。

當$n+1$時，根據數列所滿足的條件有

$$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + a_{n+1}^3 = \left( 1 + 2 + \cdots + n + a_{n+1} \right)^2,$$

其中$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$，而$1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$，代入後得

$$\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 + a_{n+1}^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} + a_{n+1} \right)^2,$$

整理得

$$a_{n+1}^3 - n(n+1)a_{n+1} - a_{n+1}^2 = 0.$$

注意$a_{n+1} > 0$，所以上式可約去$a_{n+1}$，得

$$a_{n+1}^2 - a_{n+1} - n(n+1) = 0.$$

因式分解有

$$\left( a_{n+1} + n \right)\left( a_{n+1} - (n+1) \right) = 0.$$

於是$a_{n+1} = n+1$（捨去負根）。因此由數學歸納法證得$a_n = n$。

（解答終了）

用因式分解處理一道不定方程式

補習班的匿名群組中，有學生問了一道不定方程式：

已知$a, b$皆為正整數，且$a<b$，則滿足方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{74}$的數對$(a, b)=$            。（有3組解）

同事（不曉得哪一位）給出了以下的解法：

同事的分析十分細密，式子的變形玩得666。我沒有同事那麼擅長處理式子變形，所以想了一個做法：

對於題目的方程式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{3}{74}$左右同乘以$74ab$得

$$74b+74a=3ab,$$

整理得

$$3ab-74a-74b=0$$

聯想因式分解$xy+x+y+1=(x+1)(y+1)$，再對整理後的式子左右同乘以3，得

$$9ab-222a-222b=0.$$

於是可以改寫為

$$(3a - 74)(3b - 74) - 74\times 74 = 0.$$

也就是

$$(3a - 74)(3b - 74) = 74\times 74.$$

其中$3a-74$與$3b-74$都是正整數，且$3a-74<3b-74$，所以將$74\times 74$分解為一小一大的整數的乘積：

$$74\times 74 = 37 \times 148 = 4 \times 1369 = 2 \times 2738 = 1 \times 5476.$$

得到

$$(3a-74, 3b-74) = (37, 148), (4, 1369), (2, 2738), (1, 5476).$$

故解出

$$(a, b) = (37, 74), (26, 481), (X, X), (25, 1850).$$