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2018年11月1日 星期四

2階Hermite矩陣的形式

==共軛矩陣的定義==

A=[z11z12z1nz21z22z2nzm1zm2zmn]Cm×n。定義A的共軛矩陣為A
A=[¯z11¯z12¯z1n¯z21¯z22¯z2n¯zm1¯zm2¯zmn].


例子A=[112i1+2i5],則A=[ˉ1¯12i¯1+2i¯5]=[11+2i12i5]

==Hermite共軛矩陣的定義==

An階方陣,A=[z11z12z1nz21z22z2nzn1zn2znn]Cn×n。定義A的Hermite共軛為A
A=(A)T=([¯z11¯z12¯z1n¯z21¯z22¯z2n¯zn1¯zn2¯znn])T=[¯z11¯z21¯zn1¯z12¯z22¯zn2¯z1n¯z2n¯znn].

例子A=[112i1+2i5],則A=[11+2i12i5]T=[112i1+2i5]

==Hermite矩陣(Hermitian matrix)的定義==

An階複方陣。若A滿足
A=A,
則稱A為Hermite矩陣(Hermitian matrix)。

例子A=[112i1+2i5]是Hermite矩陣。

==2階Hermite矩陣的形式==

A=[z11z12z21z22],其中z11,z12,z21,z22C

A為Hermite矩陣,則意味著A滿足
A=A.

其中A=([z11z12z21z22])T=([¯z11¯z12¯z21¯z22])T=[¯z11¯z21¯z12¯z22],於是有
[¯z11¯z21¯z12¯z22]=[z11z12z21z22].

從而得到
¯z11=z11,¯z21=z12,¯z12=z21,¯z22=z22.

所以z11,z22皆為實數,而z12z21互為共軛複數(因此實部相同)。

總結上述,我們可以得到:A=[z11z12z21z22]為Hermite矩陣,若且唯若A形如
A=[ap+qipqib],a,b,p,qR.

(主對角線元素為實數,副對角線元素為共軛複數對)
(證明終了)

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