==共軛矩陣的定義==
設A=[z11z12⋯z1nz21z22⋯z2n⋯⋯⋯⋯zm1zm2⋯zmn]∈Cm×n。定義A的共軛矩陣為A∗,A∗=[¯z11¯z12⋯¯z1n¯z21¯z22⋯¯z2n⋯⋯⋯⋯¯zm1¯zm2⋯¯zmn].
例子:A=[11−2i1+2i−5],則A∗=[ˉ1¯1−2i¯1+2i¯−5]=[11+2i1−2i−5]。
==Hermite共軛矩陣的定義==
設A為n階方陣,A=[z11z12⋯z1nz21z22⋯z2n⋯⋯⋯⋯zn1zn2⋯znn]∈Cn×n。定義A的Hermite共軛為A†,
A†=(A∗)T=([¯z11¯z12⋯¯z1n¯z21¯z22⋯¯z2n⋯⋯⋯⋯¯zn1¯zn2⋯¯znn])T=[¯z11¯z21⋯¯zn1¯z12¯z22⋯¯zn2⋯⋯⋯⋯¯z1n¯z2n⋯¯znn].
例子:A=[11−2i1+2i−5],則A†=[11+2i1−2i−5]T=[11−2i1+2i−5]。
==Hermite矩陣(Hermitian matrix)的定義==
設A為n階複方陣。若A滿足
A†=A,
則稱A為Hermite矩陣(Hermitian matrix)。
例子:A=[11−2i1+2i−5]是Hermite矩陣。
==2階Hermite矩陣的形式==
設A=[z11z12z21z22],其中z11,z12,z21,z22∈C。
若A為Hermite矩陣,則意味著A滿足
A†=A.
其中A†=([z11z12z21z22]∗)T=([¯z11¯z12¯z21¯z22])T=[¯z11¯z21¯z12¯z22],於是有
[¯z11¯z21¯z12¯z22]=[z11z12z21z22].
從而得到
¯z11=z11,¯z21=z12,¯z12=z21,¯z22=z22.
所以z11,z22皆為實數,而z12與z21互為共軛複數(因此實部相同)。
總結上述,我們可以得到:A=[z11z12z21z22]為Hermite矩陣,若且唯若A形如
A=[ap+qip−qib],a,b,p,q∈R.
(主對角線元素為實數,副對角線元素為共軛複數對)
若A為Hermite矩陣,則意味著A滿足
A†=A.
其中A†=([z11z12z21z22]∗)T=([¯z11¯z12¯z21¯z22])T=[¯z11¯z21¯z12¯z22],於是有
[¯z11¯z21¯z12¯z22]=[z11z12z21z22].
從而得到
¯z11=z11,¯z21=z12,¯z12=z21,¯z22=z22.
所以z11,z22皆為實數,而z12與z21互為共軛複數(因此實部相同)。
總結上述,我們可以得到:A=[z11z12z21z22]為Hermite矩陣,若且唯若A形如
A=[ap+qip−qib],a,b,p,q∈R.
(主對角線元素為實數,副對角線元素為共軛複數對)
(證明終了)
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