二元一次不等式，法向量所指區域為正區域，法向量反向之區域為負區域；二元一次式之函數值循法向量方向移動而增加

謹以此文紀念我的高中數學老師黃靜卿先生。

==定理1==(用法向量判斷正區域和負區域)

考慮二元一次式$f(x, y) = ax + by + c$，其中$a, b$不同時為零。在座標平面上，

(i) $ax + by + c = 0$的幾何圖形為一直線；
(ii) $ax + by + c > 0$代表之區域正是以直線$ax + by + c = 0$為邊界，而落於法向量$\overrightarrow{n} = (a, b)$所指方向的區域；
(iii) $ax + by + c < 0$代表之區域正是以直線$ax + by + c = 0$為邊界，而落於法向量$\overrightarrow{n} = (a, b)$所指方向反側的區域。

==證明==

(i) 顯然。

(ii) 命直線集合為$L = \{ (x, y) | ax+by+c=0 \}$，而正區域為$L_+ = \{ (x, y) | ax+by+c>0 \}$，負區域為$L_- = \{ (x, y) | ax+by+c<0 \}$。

顯然$\mathbb{R}^2 = L \cup L_+ \cup L_-$，且$L, L_+, L_-$互不相交，亦即$L \cap L_+ = \phi, L \cap L_- = \phi, L_+ \cap L_- = \phi$。

「以直線$ax + by + c = 0$為邊界，而落於法向量$\overrightarrow{n} = (a, b)$所指方向的區域」可描述為$L$上的點經任意正倍數的法向量$\overrightarrow{n}$平移後所得到的點集。若記此區域為$D_+$，以數學式表達就是
$$D_+ = \{ (x, y) + t \overrightarrow{n} | (x, y) \in L, t > 0 \}.$$
我們要證明的即是
$$L_+ = D_+.$$

任取$P \in D_+$，則$\exists (x, y) \in L, t > 0$使得$P = (x, y) + t \overrightarrow{n}$。於是
\begin{align}
f(P) &= f(x+ta, y+tb) \notag \\
&= a(x+ta) + b(y+tb) + c \notag \\
&= (ax+by+c) + t(a^2+b^2). \notag
\end{align}
由於$t>0$且$a, b$不同時為零，所以$t(a^2+b^2) > 0$，也就是$f(P) > 0$。因此得$P \in L_+$，從而$D_+ \subseteq L_+$。

任取$Q = (x, y) \in L_+$，我們想證明$Q$也落在$D_+$之中，如此就可得$L_+ \subseteq D_+$。而要完成此目標，我們必須找到$(x_0, y_0) \in L$以及正數$t$使得$Q = (x_0, y_0) + t \overrightarrow{n}$。

設$f(Q) = d$，即有$ax+by+c=d$。由於$Q \in L_+$，所以當然$d > 0$。對照證明$D_+ \subseteq L_+$的過程「$f(P) = \ldots = (ax+by+c) + t(a^2 +b^2)$」，我們合理猜測現在應該取$t = \frac{d}{a^2 +b^2}$，同時$(x_0, y_0)$應為$\left( x - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a, y - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b \right)$。以下驗證這樣的猜測是正確的。
\begin{align}
f \left( x - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a, y - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b \right)
&= a \left( x - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a \right) + b \left(y - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b \right) \notag \\
&= (ax+by+c) - \frac{d}{a^2 + b^2}(a^2 + b^2) \notag \\
&= d - d \notag \\
&= 0. \notag
\end{align}
所以若取$(x_0, y_0) = \left( x - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a, y - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b \right)$，則$(x_0, y_0)$確實$\in L$。而
\begin{align}
Q &= (x, y) \notag \\
&= \left( x - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a + \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a , y - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b + \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b\right) \notag \\
&= \left( x - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a, y - \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b \right) + \left( \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot a, \frac{d}{a^2 +b^2}\cdot b \right) \notag \\
&= (x_0, y_0) + \frac{d}{a^2 +b^2} (a, b) \notag \\
&= (x_0, y_0) + t \overrightarrow{n}. \notag
\end{align}
如此就證明了$Q \in D_+$，也就有$L_+ \subseteq D_+$。

綜合上述$D_+ \subseteq L_+$與$L_+ \subseteq D_+$，我們得到$L_+ = D_+$。

(iii) 「以直線$ax + by + c = 0$為邊界，而落於法向量$\overrightarrow{n} = (a, b)$所指方向反側的區域」可描述為$L$上的點經任意負倍數的法向量$\overrightarrow{n}$平移後所得到的點集。若記此區域為$D_-$，以數學式表達就是
$$D_- = \{ (x, y) + t \overrightarrow{n} | (x, y) \in L, t < 0 \}.$$

顯然有$\mathbb{R}^2 = L \cup D_+ \cup D_-$，且$L \cap D_+ = \phi, L \cap D_- = \phi, D_+ \cap D_- = \phi$。

由於已知$\mathbb{R}^2 = L \cup L_+ \cup L_-$，與上式相比較，可得
\begin{align}
D_- &= \mathbb{R}^2 \backslash \left( L \cup D_+ \right) \notag \\
&= \mathbb{R}^2 \backslash \left( L \cup L_+ \right) \notag \\
&= \left( L \cup L_+ \cup L_- \right) \backslash \left( L \cup L_+ \right) \notag \\
&= L_-. \notag
\end{align}

(證明終了)

==定理2==(線性規劃中目標函數在限定區域發生極值位置的探索方法)

二元一次式之函數值循法向量方向移動而增加。

==證明==

設$P_0 = (x_0, y_0) \in L, P_t = P_0 + t \overrightarrow{n}$。當$t > 0$時，$P_t \in L_+$；而當$t < 0$時，$P_t \in L_-$。

取正數$t, s$滿足$t < s$，於是乎$P_t$與$P_s$皆落在$L_+$之中，而自$P_t$移動到$P_s$必須沿$(s - t) \overrightarrow{n}$。注意這裡$s - t > 0$，是以自$P_t$移動到$P_s$是循著法向量$\overrightarrow{n}$之正方向前進。

我們要證明的是$f(P_s) > f(P_t)$。

進行以下計算，
\begin{align}
f(P_s) - f(P_t)
&= f(P_0 + s \overrightarrow{n}) - f(P_0 + t \overrightarrow{n}) \notag \\
&= s(a^2 + b^2) - t(a^2 +b^2) \notag \\
&= (s - t)(a^2 + b^2) \notag \\
&> 0. \notag
\end{align}
從而$f(P_s) > f(P_t)$。

(證明終了)

==討論==

我們的討論可以毫無困難地推廣到$n$維空間。這裡我們所得到的結果，其實只是多元微積分學中關於空間曲面梯度向量以及方向導數的定理的特例。

定理. 設$D$為$\mathbb{R}^n$中的開集。若函數$f : D \rightarrow \mathbb{R}$在$D$上可微，則對於任意單位向量${\bf \overrightarrow{u}} \in \mathbb{R}^n$以及${\bf x} \in D$，函數$f$在${\bf x}$循${\bf \overrightarrow{u}}$的方向導數為
$$D_{{\bf \overrightarrow{u}}} f({\bf x}) = \nabla f({\bf x}) \cdot {\bf \overrightarrow{u}}.$$
而方向導數最大值為$|\nabla f({\bf x})|$，發生於${\bf \overrightarrow{u}}$與$\nabla f({\bf x})$平行同向之際。

在高中數學傳統教學中，正、負區域的判定是採用「約定x項的係數為正...P點在L的右邊，則f(P)＞0；若P在L的左邊，則f(P)＜0」(參見部落格【王的夢田】文章〈平面被一直線分成兩部份的正負情形〉)，學生常常會搞不清楚正區域和負區域的位置。因為這個約定太麻煩了，還得先化簡所給定的直線方程式，然後要去記所謂的左邊或是右邊。試想，在三維或是更高維空間中，如果要處理線性規劃區域問題，我們還會有什麼左、右之分嗎？我們唯一可以依循的只有法向量，按其指向去區分各區域，法向量才是處理判定正、負區域的根本工具。