Perron悖論

T. Apostol在其Linear Algebra - A First Course with Applications to Differential Equations一書的0.14節中提及一個「定理」(簡體中文版p.13)：

定理：如果存在最大正整數$n$，則$n=1$。

此地定理兩字加註引號的用意是在說明這條敘述其實並非真的是一條定理。而是要展示錯誤的前提可以推導出荒謬的結論。

幾年前我初次閱讀到這裡便卡住了，因為我實在無法如Apostol所稱「讀者可用反證法證明該定理」。

我試著用反證法做。於是便先假設結論不正確，也就是$n \neq 1$。既然$n$是正整數，於是便有$n \geq 2$。因為$n$是最大正整數，所以有
$$n + 1 \leq n,$$
左右同時減去$n$，得
$$1 \leq 0.$$
是為矛盾。

但是，以上的推理完全沒有用到我的「反假設」，也就是沒有用到「於是便有$n \geq 2$」，只用到了原來定理的條件。

在應用反證法時，理想上應當是，

【定理條件】＋【與定理結論相反的敘述】$\Rightarrow$【矛盾】

然後在「【定理條件】恆真」的約定下，推論出【與定理結論相反的敘述】是不成立的，從而就得到定理結論必成立。

但是現在並沒有這樣的結構，僅僅只是

【定理條件】$\Rightarrow$【矛盾】

那這樣不是反證法啊...

因為一直沒有新思路，每次重新做這題時，總是按著老路子碰壁，後來就擱下書本不讀了。(這是我的壞毛病，一本書讀到一處讀不下去，不肯問人，非要自己想，偏偏又笨到想不出來，結果書也放著沒念下去，到頭來一場空。)

幾天前我又重新讀Apostol這本書，再次思考該如何處理這問題。這回我放棄自己解決，到ptt數學版請教網友。果不其然，版上高手雲集，walkwall、Vulpix、ADHD三位網友都給了我建議，非常感謝他們。尤其ADHD網友還追溯出這道「定理」的根源---Perron悖論(Perron's paradox)：

假設$N$是最大的正整數。 若$N>1$，則$N^2 >N$，與$N$的定義相矛盾。因此$N=1$。

(參見維基百科關於Perron的條目)我當時非常訝異，原來這還竟然冠上了人名，真的是長知識了。

(順帶一提，Oskar Perron的條目在維基百科中本來只有外文版本，我在與網友討論完數學後，就順手把它給翻成中文。是亞洲地區第一個版本喔！日文、韓文等等其他語言版本的維基百科都沒有)

上面的引文已說明了解法。而我在與網友討論的過程中，自己也想出了一個正面證法，紀錄於下。

設$n$是最大正整數。由於$n$是正整數，所以$n \geq 1$。

由$n \geq 1$得$2n - 1 \geq 1$，故$2n - 1$必亦為正整數。

但因$n$是最大正整數，所以有
$$2n - 1 \leq n.$$
從而
$$n - 1 \leq 0,$$
即有
$$n \leq 1.$$

本來就有$n \geq 1$，如今又推論出$n \leq 1$，那麼必有$n = 1$。

(證明終了)