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2018年3月7日 星期三

sin18及其相關的數值

==定理==


sin18=514

==推導==


首先注意18×5=90。命θ=18,即有5θ=90

我們已知的基礎公式有:
  1. sinφ=cos(90φ)
  2. sin3φ=3sinφ4sin3φ
  3. cos2φ=cos2φsin2φ=2cos2φ1=12sin2φ
於是有
sin3θ=sin(902θ),sin3θ=cos2θ,3sinθ4sin3θ=cos2θ,3sinθ4sin3θ=12sin2θ.
得方程式
4sin3θ2sin2θ3sinθ+1=0.
此地我們要解出sinθ。注意到方程式係數和為0,所以容易因式分解得
(sinθ1)(4sin2θ+2sinθ1)=0,
從而得
sinθ=1,1±54.
sin18>0<1,所以
sin18=1+54.
(證明終了)

==其他相關數值==



  • cos18=10+254

[証]. 利用sin2θ+cos2θ=1,同時注意cos18>0,所以cos18=+1sin218=10+254


  • sin72=10+254

[証]. 利用sin72=sin(9018)=cos18=10+254


  • cos72=514

[証]. 利用cos72=cos(9018)=+sin18=514


  • sin108=10+254

[証]. 利用sin108=sin(90+18)=+cos18=10+254


  • cos108=154

[証]. 利用cos108=cos(90+18)=sin18=514=154

  • sin36=10254
[証]. sin36=sin2×18=2sin18cos18=251410+254=10254

  • cos36=1+54

[証]. cos36=cos218=2(cos18)21=2(10+254)21=1+54

  • sin42=30+655+18

[証]. 利用sin42=sin(6018)=sin60cos18cos60sin18


  • cos42=10+25+1538

[証]. 利用cos42=cos(6018)=cos60cos18+sin60sin18

==整理==

角度θsinθcosθ1851410+25436102541+544230+655+1810+25+15387210+25451410810+254154

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