==定理==
sin18∘=√5−14。
==推導==
首先注意18∘×5=90∘。命θ=18∘,即有5θ=90∘。
我們已知的基礎公式有:
- sinφ=cos(90∘−φ);
- sin3φ=3sinφ−4sin3φ;
- cos2φ=cos2φ−sin2φ=2cos2φ−1=1−2sin2φ。
sin3θ=sin(90∘−2θ),sin3θ=cos2θ,3sinθ−4sin3θ=cos2θ,3sinθ−4sin3θ=1−2sin2θ.
得方程式
4sin3θ−2sin2θ−3sinθ+1=0.
此地我們要解出sinθ。注意到方程式係數和為0,所以容易因式分解得
(sinθ−1)(4sin2θ+2sinθ−1)=0,
從而得
sinθ=1,−1±√54.
但sin18∘>0且<1,所以
sin18∘=−1+√54.
此地我們要解出sinθ。注意到方程式係數和為0,所以容易因式分解得
(sinθ−1)(4sin2θ+2sinθ−1)=0,
從而得
sinθ=1,−1±√54.
但sin18∘>0且<1,所以
sin18∘=−1+√54.
(證明終了)
==其他相關數值==
- cos18∘=√10+2√54
[証]. 利用sin2θ+cos2θ=1,同時注意cos18∘>0,所以cos18∘=+√1−sin218∘=√10+2√54。
- sin72∘=√10+2√54
[証]. 利用sin72∘=sin(90∘−18∘)=cos18∘=√10+2√54。
- cos72∘=√5−14
[証]. 利用cos72∘=cos(90∘−18∘)=+sin18∘=√5−14。
- sin108∘=√10+2√54
[証]. 利用sin108∘=sin(90∘+18∘)=+cos18∘=√10+2√54。
- cos108∘=1−√54
[証]. 利用cos108∘=cos(90∘+18∘)=−sin18∘=−√5−14=1−√54。
- sin36∘=√10−2√54
- cos36∘=1+√54
[証]. cos36∘=cos2⋅18∘=2(cos18∘)2−1=2(√10+2√54)2−1=1+√54。
- sin42∘=√30+6√5−√5+18
[証]. 利用sin42∘=sin(60∘−18∘)=sin60∘cos18∘−cos60∘sin18∘。
- cos42∘=√10+2√5+√15−√38
[証]. 利用cos42∘=cos(60∘−18∘)=cos60∘cos18∘+sin60∘sin18∘。
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