複合函數的求導，鏈鎖律，Chain Rule

==定理==(鏈鎖律，Chain Rule)

若$g( \xi ) = \eta , g'( \xi ) = t, f'(\eta) = \tau$，則$f \left( g(x) \right)$在$\xi$可導，且導數為$\tau t$。

==證明==

由於$f$在$\eta$可導，意味著存在正數$p$使得$f$在$(\eta - p, \eta + p)$上有定義，且差商$\frac{f( \eta + k) - f( \eta)}{k}$在$k \rightarrow 0$時有極限$\tau$。

定義函數$\varphi : (-p, p) \rightarrow \mathbb{R}$，
$$\varphi (k) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f( \eta + k) - f( \eta)}{k}, & k \neq 0 \\ \tau, & k = 0 \end{array} \right.$$
此函數的幾何意義為「割線與切線斜率變化函數」。

注意$\lim \limits_{k \rightarrow 0} \varphi (k) = \lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{f( \eta + k) - f( \eta)}{k} = f'(\eta) = \tau = \varphi (0)$，所以$\varphi$在$0$連續。

由$\varphi$的定義，在$(- p, p)$上，恆有
$$f(\eta + k) - f(\eta) = \varphi (k) \cdot k.$$

要確認$f \left( g(x) \right)$在$\xi$是否可導，必須計算極限式
$$\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f \left( g( \xi + h) \right) - f \left( g( \xi ) \right)}{h}.$$
將$g ( \xi ) = \eta$代入，式子變為
$$\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f \left( g( \xi + h) \right) - f (\eta)}{h}.$$

但我們目前只知道
$$\lim \limits_{k \rightarrow 0} \frac{f (\eta + k) - f (\eta)}{k} = \tau.$$
將兩個極限式的差商相比較：
$$\frac{f \left( g( \xi + h) \right) - f (\eta)}{h} \text{與} \frac{f (\eta + k) - f (\eta)}{k},$$
注意到其中兩者分子的被減項$f \left( g( \xi + h) \right)$與$f (\eta + k)$形式上有所不同。

$g( \xi + h) = \eta + k$？

$g( \xi + h) = g ( \xi ) + k$？

變量$k$受到$h$影響！

定義$k(h) = g ( \xi + h) - g (\xi )$。

$k(h)$的定義域呢？

由於$g$在$\xi$可導，所以存在正數$q$使得$g$在$(\xi - q, \xi + q)$上有定義。於是$k(h)$的定義域就是$(-q, q)$。

而因$g$在$\xi$可導，所以$g$在$\xi$連續，即有$\lim \limits_{h \rightarrow 0} g( \xi + h ) = g ( \xi )$，於是$\lim \limits_{h \rightarrow 0} k(h) = \lim \limits_{h \rightarrow 0} [g ( \xi + h) - g ( \xi )] = g ( \xi ) - g( \xi ) = 0$。

這意味著當$h$足夠小(夠接近$0$)，那麼$k(h)$也會充分接近$0$。

所以對於正數$p$，存在正數$q'$使得當$h \in (-q', q')$時，有$k(h) \in (-p, p)$。

因此，當$h \in (-q', q')$時，
$$k(h) = g(\xi + h) - g(\xi) \in (-p, p),$$
然後
\begin{align}
f \left( g(\xi + h) \right) - f \left( g(\xi) \right) &= f \left( g(\xi) + k(h) \right) - f\left( g(\xi) \right) \notag \\
&= f \left( \eta + k(h) \right) - f(\eta) \notag \\
&= \varphi \left( k(h) \right) \cdot k(h) \notag
\end{align}
所以
\begin{align}
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f \left( g(\xi + h) \right) - f \left( g(\xi) \right)}{h}
&= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\varphi \left( k(h) \right) \cdot k(h)}{h} \notag \\
&= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \varphi \left( k(h) \right) \cdot \frac{k(h)}{h} \notag \\
&= \lim \limits_{h \rightarrow 0} \varphi \left( k(h) \right) \cdot \frac{g ( \xi + h) - g (\xi )}{h} \notag \\
&= \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \varphi \left( k(h) \right) \right] \cdot \left[ \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{g ( \xi + h) - g (\xi )}{h}\right] \notag \\
&= \varphi (0) \cdot t \notag \\
&= \tau \cdot t \notag \\
&= \tau t \notag
\end{align}

(證明終了)