a+b2≥√ab
[証]:本篇文章採用代數法來證明。幾何的處理方式,請見我在中央研究院數學研究所《數學傳播》發表的兩篇文章。
什麼是「非負」?
就是「不是負」。
一個數要麼是正的、要麼是0、要麼是負的,如今「不是負」,那必定是正的或0,也就是≥0。
證明的策略是,考慮a+b2−√ab,想辦法推出此代數式非負,那麼就得到a+b2≥√ab。
以下開始證明。
a+b2−√ab=12(a+b−2√ab)=12(√a2+√b2−2√a√b)=12(√a2−2√a√b+√b2)=12(√a−√b)2≥0
即a+b2−√ab≥0,得a+b2≥√ab
證明的幾個要點在此稍稍再討論一番。
首先,請注意定理條件中「a,b非負」的設定,因為如此,我們才能對a,b開方,換言之,就是使得a=√a2有意義。
再者,請留意到任意實數(式)的平方必定非負,而一堆平方的和當然也是非負的。
(證明結束)
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