二元算幾不等式的代數證明

定理：若$a, b$皆為非負實數，則恆有
$$
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$

[証]：本篇文章採用代數法來證明。幾何的處理方式，請見我在中央研究院數學研究所《數學傳播》發表的兩篇文章。

什麼是「非負」？

就是「不是負」。

一個數要麼是正的、要麼是0、要麼是負的，如今「不是負」，那必定是正的或0，也就是$\geq 0$。

證明的策略是，考慮$\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$，想辦法推出此代數式非負，那麼就得到$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。

以下開始證明。

\begin{eqnarray*}
\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}
&=& \frac{1}{2} \left( a+b -2\sqrt{ab} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \sqrt{a}^2 + \sqrt{b}^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \sqrt{a}^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \sqrt{b}^2 \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)^2 \\
&\geq& 0
\end{eqnarray*}

即$\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \geq 0$，得$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

證明的幾個要點在此稍稍再討論一番。

首先，請注意定理條件中「$a, b$非負」的設定，因為如此，我們才能對$a, b$開方，換言之，就是使得$a = \sqrt{a}^2$有意義。

再者，請留意到任意實數(式)的平方必定非負，而一堆平方的和當然也是非負的。

(證明結束)