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2017年7月7日 星期五

二元算幾不等式的代數證明

定理:若a,b皆為非負實數,則恆有
a+b2ab


[証]:本篇文章採用代數法來證明。幾何的處理方式,請見我在中央研究院數學研究所《數學傳播》發表的兩篇文章。

什麼是「非負」?

就是「不是負」。

一個數要麼是正的、要麼是0、要麼是負的,如今「不是負」,那必定是正的或0,也就是0

證明的策略是,考慮a+b2ab,想辦法推出此代數式非負,那麼就得到a+b2ab

以下開始證明。

a+b2ab=12(a+b2ab)=12(a2+b22ab)=12(a22ab+b2)=12(ab)20


a+b2ab0,得a+b2ab

證明的幾個要點在此稍稍再討論一番。

首先,請注意定理條件中「a,b非負」的設定,因為如此,我們才能對a,b開方,換言之,就是使得a=a2有意義。

再者,請留意到任意實數(式)的平方必定非負,而一堆平方的和當然也是非負的。

(證明結束)

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