有理數與有理數加減乘除後仍為有理數(有理數對四則運算自封、有理數Q是體(field))

在高中數學關於實數的介紹中，常會出現一類概念考題，多以選擇題形式呈現，其內容大概都是「設$a, b$皆為有理數，則以下選項何者正確？」云云。

有很大一部分題目內容是關於有理數體對於四則運算自封的，以下我們來討論一下這些內容。

定理：若$a, b$皆為有理數(亦可寫作$a, b \in \mathbb{Q}$)，則有以下結論：
(1) $a+b$仍為有理數，即$a+b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$+$有理數$=$有理數」；
(2) $a-b$仍為有理數，即$a-b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$-$有理數$=$有理數」；
(3) $a \times b$仍為有理數，即$a \times b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$\times$有理數$=$有理數」；
(4) 若再限制$b \neq 0$，那麼$a \div b$仍為有理數，即$a \div b \in \mathbb{Q}$。換句話說，就是「有理數$\div$有理數$=$有理數」。

[證]：已知$a, b$皆為有理數，那麼存在整數$p, q, r, s$使得$a=\frac{p}{q}, b=\frac{r}{s}$，且其中$q \neq  0, s \neq 0$，又$\gcd (p, q) = \gcd (r, s) = 1$。

(1) 因為$p, q, r, s$皆為整數，所以$qs, ps+qr$亦為整數。而
$$\begin{eqnarray*} a+b &=& \frac{p}{q} + \frac{r}{s} \\ &=& \frac{ps}{qs} + \frac{rq}{sq} \\ &=& \frac{ps+rq}{qs} \end{eqnarray*}$$
可見$a+b$的結果可表為$\frac{\text{整數}}{整數}$，因此$a+b$也是有理數。

(2) 因為$r$是整數，所以$-r$也是整數。

因$b=\frac{r}{s}$，得$-b=-\frac{r}{s} = \frac{-r}{s} = \frac{\text{整數}}{\text{整數}}$，即$-b$亦為有理數。

那麼$a-b=a+(-b)=\text{有理數}+\text{有理數}=\text{有理數}$。

(3) 因為$p, q, r, s$皆為整數，所以$pr, qs$也都是整數。

那麼$a \times b = \frac{p}{q} \times \frac{r}{s} = \frac{pr}{qs} = \frac{\text{整數}}{\text{整數}} = \text{有理數}$。

(4) 因$b \neq 0$，而$b = \frac{r}{s}$，故$r \neq 0$，所以$\frac{1}{b} = \frac{s}{r}$是存在的，且$\frac{1}{b}$也是有理數。

於是$a \div b = a \times \frac{1}{b} = \text{有理數} \times \text{有理數} = \text{有理數}$。

(證明結束)